Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Ионно-звуковые волны в плазме без магнитного поля

Здесь, а также в последующих параграфах мы будем рассматривать плазму в «двухжидкостном» приближении, т. е. будем предполагать, что ионная и электронная компоненты плазмы описываются уравнениями гидродинамики.

Если магнитное поле отсутствует, то основные уравнения принимают вид

где потенциал электрического поля; индексы указывают на сорт частиц (ионы, электроны, причем

Уравнения (6.1) — (6.3) написаны в предположении, что ионная и электронная компоненты плазмы слабо взаимодействуют между собой и поэтому могут иметь существенно различные температуры (и соответственно давления, поскольку Такие условия реализуются в достаточно разреженной плазме.

Кроме того, мы будем рассматривать здесь лишь «медленные» (ионные) колебания плазмы, обратные времена которых значительно меньше электронной ленгмюровской частоты

Как известно (см., например, [17]), такие колебания будут слабо затухающими только при выполнении условия В дальнейшем мы будем для простоты предполагать, что следовательно, Что касается электронов, то мы будем считать их время релаксации настолько малым (по сравнению с периодом ионных колебаний), что электронная плотность описывается распределением Больцмана

где через здесь и всюду в дальнейшем будет обозначаться электронная температура Те.

В силу сделанных предположений уравнения движения для ионов принимают вид

(индекс при величинах здесь и в дальнейшем опускается).

В случае малых колебаний, когда эти уравнения можно линеаризовать, получаем дисперсионное уравнение

здесь дебаевский радиус:

Соотношение (6.7) есть известное дисперсионное уравне ние для ионных колебаний в плазме, где В предельном случае длинных волн оно принимает вид (3.1), где

и соответственно эволюция линейных нестационарных волн описывается соотношениями (3.3), (3.11), (3.12).

Рассмотрим теперь, какой вид принимают нелинейные уравнения (6.6) для достаточно длинных волн. При этом, как и в аналогичной задаче для гравитационных волн, мы будем предполагать, что отклонения от равновесных значений не слишком велики, так что можно ограничиться нелинейными членами второго порядка. Таким образом, можно ввести два малых параметра

и будем удерживать лишь члены второго порядка малости относительно

Поскольку левая часть второго уравнения (6.6) имеет порядок по отношению к другим членам, мы можем решать это уравнение относительно методом последовательных приближений. Ограничиваясь двумя итерациями, получим

Тогда

Подставляя это в первое из уравнений (6.6), получаем основные уравнения в виде

где определены в (6.9). Уравнения имеют вид, аналогичный уравнениям Буссинеска (5.23), (5.24). Член со старшей производной в является дисперсионным. Если им пренебречь, то получаются уравнения гидродинамики с эффективным показателем адиабаты

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление