Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Уравнения Буссинеска

Линеаризованные уравнения (4.8), (4.9) содержат первые члены разложения исходных уравнений по степеням или, что все равно, по степеням отношения где амплитуда скорости частиц жидкости, а с — фазовая скорость волны. Можно поставить вопрос о построении систематической процедуры разложения по степеням этого параметра. Мы здесь рассмотрим следующее приближение в случае мелкой воды, когда дисперсия невелика.

Таким образом, в нашем распоряжении имеются два малых параметра

где I — характерный линейный масштаб возмущения, а

есть предельная скорость распространения волн в мелкой воде. Мы будем считать, что и задача состоит в получении уравнений, описывающих волны на мелкой воде с точностью до членов второго порядка по включительно. Эти уравнения, таким образом, будут содержать нелинейные и дисперсионные члены в первом неисчезающем приближении.

Переходя к безразмерным переменным

получаем основные уравнения в виде

Разложим теперь по степеням ,

где

Из (5.4) следует

где А — оператор Лапласа, действующий только на безразмерные переменные

Далее можно написать

Из (5.11) и (5.6) -(5.8) находим

Решая это уравнение методом последовательных приближений, получим

Используя (5.13), (4.5) и (5.5) — (5.10), можно написать следующую систему уравнений для величин зависящих только от переменных

Если теперь вернуться к старым переменным и ввести двумерный потенциал скорости

и полную высоту жидкости над уровнем дна

то уравнения (5.14) принимают вид

Иногда более удобно исходить из несколько иных уравнений, имеющих ту же степень точности, что и (5.17),

(5.18). Если ввести новый потенциал

то с принятой степенью точности уравнения (5.17) и (5.18) принимают вид

(при получении последнего члена в (5.20) мы воспользовались соотношением которое следует из линеаризованного уравнения (5.17)).

Если теперь ввести «горизонтальную скорость»

и взять градиент от (5.20), то получатся уравнения

которые мы будем называть уравнениями Буссинеска.

Линеаризуя (5.23), (5.24), нетрудно получить одно уравнение

которому отвечает дисперсионное соотношение (4.11) (с точностью до членов порядка включительно, принятой при выводе уравнений (5.23) — (5.24)). Дисперсионный член в (4.11) возник из-за последнего члена в (5.23); если им пренебречь, то основные уравнения принимают вид

и совпадают по форме с уравнениями газодинамики, где роль плотности играет глубина жидкости а давления — величина соответствует эффективному показателю адиабаты Соотношения (5.26) называются уравнениями мелкой воды [1, 2]. На них автоматически распространяются все результаты, справедливые для соответствующих уравнений газодинамики (инварианты Римана, простые волны и т. д.). Роль скорости звука при этом играет величина

Уравнения Буссинеска легко дополнить членами, учитывающими капиллярные эффекты. Будем предполагать, что кривизна поверхности не очень велика (что выполняется при достаточно больших длинах волн). Добавочное давление на жидкость, обусловленное поверхностным натяжением, определяется формулой Лапласа

где а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а главные радиусы кривизны поверхности. Если уравнение поверхности и величина достаточно мала (поверхность слабо изогнута), то можно написать ([1], § 60):

Заменяя в уравнении (5.23) гидростатическое давление на плотность жидкости), получаем уравнения Буссинеска, учитывающие капиллярные эффекты

Уравнения (5.29) отличаются от (5.23), (5.24) лишь коэффициентом перед дисперсионным членом. Это приводит к изменению дисперсионного уравнения, а именно, вместо (4.11) теперь будем иметь

где по-прежнему Таким образом, мы опять приходим к выводу, что эволюция достаточно длинных волн в линейном приближении определяется формулами (3.3), (3.11), (3.12); при этом параметр дисперсии определяется формулой

Существенно, что при достаточно большом а, а именно

параметр дисперсии меняет знак; это влечет за собой качественное изменение характера эволюции по сравнению со случаем, когда капиллярные эффекты невелики и Именно, в этом случае более короткие волны имеют большую скорость, чем длинные, и поэтому обгоняют последние.

Оказывается, что уравнения Буссинеска справедливы не только для гравитационно-капиллярных волн; аналогичные уравнения можно получить и для других типов волн, в частности для волн в плазме.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление