Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава II. ПРИМЕРЫ ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕД

§ 4. Гравитационные волны на поверхности жидкости

Переходя к изучению нелинейных эффектов в диспергирующих средах, рассмотрим прежде всего характерный пример из гидродинамики, имеющий в то же время и самостоятельное значение, а именно гравитационные волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Предполагая, что движение потенциальное, можно написать

Выберем систему координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх, а плоскость совпадала с невозмущенной поверхностью жидкости. В качестве первого основного уравнения можно выбрать уравнение Бернулли

которое получится, если подставить (4.1) в уравнение Эйлера

и проинтегрировать последнее один раз. В (4.2) предполагается, что внешнее давление на свободную поверхность жидкости равно Уравнение непрерывности совместно с (4.1) дает

Эти уравнения нужно дополнить граничными условиями. Первое из них следует из того, что производное по времени от координат точек поверхности жидкости

должны равняться скоростям этих точек. Записывая уравнение поверхности в момент времени в виде

и дифференцируя обе части (4.4) по с учетом (4.1). получаем

Это уравнение называется кинематическим граничным условием.

Применяя уравнение (4.2) к точкам, лежащим на поверхности жидкости, получаем так называемое динамическое граничное условие

и, наконец, поскольку нормальная составляющая скорости у дна (которое предполагается горизонтальным) должна исчезать,

где - глубина жидкости. Уравнения (4.1) — (4.7) представляют искомую полную систему уравнений.

Рассмотрим прежде всего волны настолько малой амплитуды, что основные уравнения можно линеаризовать (параметр малости где а — амплитуда смещения, К — длина волны). Линеаризованные уравнения (4.5), (4.6) принимают вид

Из (4.8), (4.9) и (4.3), (4.7) получаем дисперсионное уравнение для монохроматических волн

Рассмотрим два наиболее интересных предельных случая: длина волны велика по сравнению с глубиной, т. е. (мелкая вода) и обратный предельный случай

глубокой воды Из (4.10) получаем

Таким образом, в мелкой воде (или в случае достаточно длинных волн) дисперсия является слабой: при фазовая скорость стремится к постоянному значению Соответственно эволюция достаточно длинных волн в линейном приближении описывается формулами (3.3), (3.11), (3.12), где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление