Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Линеаризованное уравнение Кортевега — де Вриза

В качестве простого примера, где можио проследить и за областью, недоступной для геометрической оптики, рассмотрим волны с законом дисперсии

С общей точки зрения, выражение (3.1) можно рассматривать как первые два члена разложения частоты по степеням для достаточно длинных волн в прозрачной среде. Дисперсионному уравнению (3.1) отвечает следующее дифференциальное уравнение для волновой

функции

Переходя к новой координате (отвечающей системе отсчета, которая движется со скоростью получим

Таким образом, уравнение (3.2) имеет довольно универсальное значение: оно описывает достаточно длинные волны в средах, где предел при имеет конечное значение (слабо диспергирующие волны). Нелинейное уравнение для слабо диспергирующих волн, которое подробно изучается в главе IV, называется уравнением Кортевега — де Вриза Соответственно уравнение (3.2) мы будем называть линеаризованным уравнением КдВ. Общее решение уравнения (3.2), как нетрудно проверить, имеет вид

где

есть функция Эйри, имеющая следующую асимптотику [13]:

Полезно также иметь в виду соотношение

которое следует из (3.4).

Рассмотрим теперь асимптотический вид выражения (3.3) при больших предполагая, что начальное

возмущение достаточно быстро затухает при Тогда можно разложить в (3.3) в ряд по степеням результате получим

где

Подставляя в (3.7) асимптотические выражения для производных функций Эйри

и используя разложение в ряд фурье-компоненты начального возмущения (2.4)

получаем при

При имеет место

Наконец, при 21 и достаточно больших решение

описывается первым неисчезающим членом в формуле (3.7), например, при

Формула (3.11) есть частный случай общего асимптотического выражения (2.5) при законе дисперсии (3.1). Локальное волновое число, согласно (2.6), имеет вид

а локальная частота определяется выражением так что фаза совпадает (с точностью до постоянного слагаемого) с аргументом в экспоненте (3.11).

Рис. 3.1. Эволюция возмущения, описываемого линеаризованным уравнением Кортевега — де Вриза (3.2).

Таким образом, быстрые осцилляции, при которых применимо приближение геометрической оптики, лежат в области если (в этом случае коротковолновые осцилляции отстают от длинных), и в области если (короткие волны уходят вперед). Общий вид решения (3.3) при изображен на рис. 3.1.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление