Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение Б. ЭВОЛЮЦИЯ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ [112]

Б1. Граничные условия

Будем предполагать, что плазма заполняет полупространство и на границу плазмы падает волна с переменной амплитудой

Уравнения для отраженной и прошедшей в плазму волн запишем в виде

Векторы напряженности электрического и магнитного полей для всех трех волн параллельны граничной плоскости Из условий непрерывности напряженностей электрического и магнитного полей с учетом уравнений и

получим

Здесь

Вводя коэффициент отражения

и используя уравнения получим

Эти соотношения совместно с условиями

образуют полную систему граничных условий для основных уравнений (30.5) и (30.10), определяющих поле в плазме.

Вычислим теперь коэффициент отражения Для этого нужно найти величину Умножая уравнение (30.5) на и вычитая из последнего комплексно сопряженное уравнение, получим

Подставляя сюда соотношения

и интегрируя по х от до будем иметь

Таким образом, коэффициент отражения при принимает вид

В частности, если амплитуда падающей волны не зависит от времени, то в этом случае волна полностью отражается от плазмы, проникая в нее лишь на глубину скин-слоя, определенного в § 30. Если же амплитуда падающей волны изменяется во времени, то, как будет показано ниже, отражается лишь часть падающей на плазму электромагнитной энергии.

Физическая картина проникновения излучения проста: давление электромагнитного поля создает разрежение плотности в некоторой области плазмы; в этой области концентрируется излучение в виде стоячей волны, которое распространяется вместе с областью разрежения внутрь плазмы в виде электроакустических волн.

Приближенные решения основных уравнений (30.5) и (30.10), описывающие возникновение и эволюцию электроакустических волн, рассматриваются в следующих разделах этого Приложения.

Б2. Возбуждение и эволюция электроакустических волн

Очевидно, что характерные размеры электроакустических волн имеют порядок

где величина определенная в (30.10), является обратной длиной электроакустических солитонов. Соответственно этому характерное время электрозвуковых процессов по порядку величины равно

Далее, при условии (30.23) величину можно считать достаточно малой, поскольку

Таким образом, мы можем считать, что

Из (30.19) также видно, что условие предполагавшееся выполненным при выводе уравнения (30.11) из уравнений гидродинамики, имеет вид

Все эти оценки позволяют получить простые выражения, - описывающие проникновение электромагнитного излучения в плазму.

Предположим теперь, что амплитуда падающей электромагнитной волны отлична от нуля лишь в течение ограниченного промежутка времени

Считая, что и учитывая формулы (30.23), мы можем написать следующие оценки для величин, фигурирующих в формуле

и

(последнее соотношение написано на основании формулы Из получаем

т. е. амплитуда волны внутри плазмы на ее границе равна удвоенной амплитуде поля падающей волны.

Подсчитаем теперь полную энергию, проникшую в плазму. Эта величина определяется формулой

где произвольный момент времени, момент включения поля на границе плазмы. Подставляя сюда выражение коэффициента отражения и учитывая, что при поле внутри плазмы еще равно нулю, получим

При внешнее поле равно нулю, и мы получаем

Эти результаты, разумеется, ивляются простыми следствиями сохранения самом деле, плотность энергии электрозвуковой волны в плазме равна (109)

(Малость опущенных членов следует из условия Таким образом, полная энергия электрозвуковой волны, образовавшейся в плазме, определяется выражением Заметим далее, что из соотношения следует, что поток энергии в плазму имеет следующий порядок величины:

т. е. количество энергии, проникающее в плазму в единицу времени, равно по порядку величины плотности энергии на границе плазмы, умноженной на скорость звука, в соответствии с тем, что

электромагнитное излучение, заполняющее электрозвуковую волну, распространяется вместе с плазмой со скоростью порядка скорости звука.

Более того, если амплитуда поля достаточно мала, а именно

(это соотношение всюду в дальнейшем будет предполагаться выполненным), то, как будет показано ниже, скорость электрозвуковых волн мало отличается от скорости звука, и соотношение приобретает смысл приближенного равенства. Если учесть теперь соотношение то для полной энергии электрозвуковой волны получится следующее приближенное выражение через внешнее поле

Предположим теперь, что электрозвуковая волна, сформировавшаяся в плазме, отошла на достаточно большое расстояние от границы. Дальнейшая эволюция этой волны определяется решением основных уравнений при начальном условии

где функция, достаточно быстро затухающая при (начиная с этого момента, мы будем считать, что граница плазмы находится при и интервал в лежит в отрицательной области: Из изложенного выше следует, что функция удовлетворяет соотношениям

Перейдем к безразмерным переменным

Тогда уравнения (30.5) и (30.11) примут вид

Если считать здесь, в соответствии со сказанным выше, что

то эти уравнения, как легко можно усмотреть из их структуры, имеют решения, для которых

где любая из неизвестных функций, фигурирующих в системе Нетрудно убедиться, что соотношения отвечают решениям, описывающим волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х со скоростью, близкой к скорости звука.

Если искать только такие решения и ограничиться главными членами в уравнениях то основные уравнения примут вид

Рассмотрим прежде всего стационарные решения этой системы, описывающие уединенные волны. Полагая

получим после перехода к исходным величинам согласно

причем амплитуда волны связана с числом Маха соотношением

Эти решения справедливы при и с принятой степенью точности совпадают с выражениями (30.17) — (30.19).

Рассмотрим теперь общее решение уравнений при произвольном начальном возмущении

исчезающем достаточно быстро вместе со своими производными при При этом начальные значения функции определяются

однозначно уравнения

Здесь необходимо заметить, что если функция исчезает достаточно быстро при то функция удовлетворяющая уравнению должна иметь следующую асимптотику при больших значениях

Эти соотношения должны выполняться при любом значении в том числе и при Таким образом, функция в должна иметь асимптотику

В переменных это означает, что амплитуда электрического поля в электрозвуковом импульсе должна иметь асимптотику вида

Это выражение, естественно, совпадает с асимптотикой обычного скин-слоя в линейной теории.

В связи с изложенным возникает вопрос, может ли вообще существовать искомое решение уравнений т. е. может ли уравнение Шредингера

иметь не зависящее от времени собственное значение, если его «потенциал» изменяется во времени согласно уравнению

Чтобы ответить на этот вопрос, вычислим из уравнений

Подставляя сюда из а затем умножая обе части на и интегрируя по от до получим

Предполагая, что стоящий здесь интеграл сходится, получим

Учитывая теперь соотношение находим

Отсюда вытекает, что обсуждавшиеся выше условия, которым должно удовлетворять искомое решение, не противоречивы.

Приступим теперь к нахождению решения. Определяя функцию из уравнения и подставляя ее в получим

Интегрируя и учитывая условия при к», получим

Введем новую функцию

Тогда уравнение после двух интегрирований примет вид уравнения Риккати

где произвольные функции, появившиеся при интегрировании.

Поскольку, как видно из

то

Чтобы определить функцию заметим, что, согласно соотношению (и с учетом того, что границу плазмы теперь следует считать находящейся при функция должна удовлетворять условию

где постоянная, которую, согласно соотношениям следует считать равной

Полагая теперь в уравнении и учитывая получим

Решение уравнения при условиях имеет вид

где произвольная функция, появившаяся при интегрировании. Ее можно выразить через функцию о 0). Учитывая, что

получим

Дифференцируя выражение по находим

Формулы и дают решение уравнений при начальном условии Функция при этом однозначно определяется условием

Перейдем теперь к анализу полученного решения. Прежде всего рассмотрим общие свойства функции Эта величина монотонно возрастает с ростом координты причем

Таким образом, координата однозначно определяется величиной и наоборот. Согласно формулам и асимптотика функций имеет вид

Рассмотрим теперь асимптотический вид решения при больших значениях В этом случае функция заметно отлична от нуля только при достаточно больших отрицательных значениях величины Поскольку в этом случае можно пользоваться асимптотическим выражением то мы получаем

Возвращаясь к исходным переменным согласно формулам получим

Правые части этих соотношений описывают стационарную уединенную волну с амплитудой

и числом Маха

Исключая отсюда получаем, что число Маха связано с амплитудой соотношением а правые части соотношений в точности совпадают с выражениями

Подставляя в выражения и получаем

Таким образом, электрозвуковаи волна, образовавшаяся в плазме под действием внешней электромагнитной волны с амплитудой в конечном итоге превращается в солитон с амплитудой, определяемой формулой

Б3. Решение граничной задачи

Метод, изложенный в предыдущем разделе, после небольшого видоизменения может быть использован и для непосредственного решения граничной задачи. Получающиеся при этом выражения имеют несколько меньшую точность, чем полученное выше решение задачи с начальными условиями, но зато такой подход позволяет получить прямым способом такие соотношения, как, например, которые были получены ранее из косвенных соображений.

Безразмерные переменные, удобные для задачи с граничными условиями, имеют вид

Тогда уравнения (30.5) и (30.11) принимают вид

Мы опять можем заключить, что эти уравнения имеют решения, удовлетворяющие условиям (с очевидной заменой описывающие волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х со скоростью, близкой к скорости звука. Если ограничиться главными членами, то уравнения

(Б.70) принимают вид

Рассмотрим решение этих уравнений при граничном условии

имеющем вид одиночного импульса, т. е. будем предполагать, что функция и ее производные исчезают достаточно быстро при Функция в рассматриваемом приближении опять удовлетворяет уравнению шредингеровского типа; поэтому, если исчезает при то должна иметь следующую асимптотику при больших

Это соотношение должно выполняться, в частности, при Поэтому функция также должна иметь асимптотику вида

Эти асимптотические условия имеют простой смысл. Они означают, что поле, распространяясь вместе с веществом со скоростью, близкой к скорости звука, имеет пространственную асимптотику типа Дальнейший ход решения системы является почти дословным повторением вычислений, приведенных выше при решении системы

Если потребовать выполнения добавочного условия

то решение, как нетрудно проверить, имеет вид

При этом функция определена соотношением

В разделе Б4 найдено более общее решение системы не ограниченное условием постоянства интеграла и показано, что, вообще говоря, этот интеграл изменяется настолько медленно, что учет его переменности является превышением точности.

Рассмотрим теперь асимптотический вид функции при больших значениях (т. е. координаты В этом случае функция заметно отлична от нуля только при достаточно больших значениях величины Из формул и вытекает, что асимптотика этой функции имеет вид

Таким образом, мы получаем

Возвращаясь к исходным переменным согласно формулам получаем

где

Учитывая, что согласно формуле величина имеет второй порядок малости, мы получаем Таким образом, формулы и с принятой степенью точности совпадают с формулами и описывающими солитон малой амплитуды. Величина согласно и равна

Подставляя это в формулу получим

Эта формула имеет тот же смысл, что и соотношение Полная энергия образовавшегося солитона, вычисленная согласно формуле равна

Таким образом, количество энергии, проникающее в плазму в единицу времени, равно плотности энергии на границе плазмы, умноженной на скорость звука (ср. с формулой ).

Б4. Общее решение основных уравнений

Рассмотрим общее решение уравнений при Положим

где

Подставляя в получим

Таким образом, уравнения для функций в переменных сохраняют форму уравнений Начальное условие и условие нормировки имеют тот же вид, что и Поэтому соответствующее решение выражается формулой с заменой Возвращаясь к функции получаем общее решение в следующем виде:

Поскольку уравнения справедливы лишь для функций, удовлетворяющих условиям (где нужно заменить

то можно написать

и, следовательно,

Таким образом, можно считать, что если Но исходные уравнения также справедливы только при этом ограничении. Поэтому учитывать различие между было бы превышением точности. Таким образом, не нарушая общности, можно считать, что решение уравнений при граничном условии имеет вид - (Б.79).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление