Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение A. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ С МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ (АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ УИТЭМА [16])

А1. Вариационный принцип

Предположим, что общие уравнения для рассматриваемых волн могут быть получены из вариационного принципа

где через обозначена совокупность величин, определяющих колебания

время, совокупность пространственных координат, а под здесь и в дальнейшем понимается произведение

Тогда уравнения движения для рассматриваемых волн имеют

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Чтобы избежать громоздких выражений, мы будем писать в дальнейшем соотношения и аналогичные им без явного выписывания индексов (если это не влечет за собой недоразумений). Например,

вместо вместо .

Плотность функции Лагранжа как правило, находится без особого труда для всех более или менее интересных случаев.

Рассмотрим, например, обобщенные уравнения Буссинеска в форме (10.1). Предполагая, как мы это делали что движение потенциальное, т. е.

мы можем привести эти уравнения к виду

где

Роль компонент «волнового вектора» играют здесь две величины: т. е.

Нетрудно убедиться, что уравнения могут быть записаны в форме если

Чтобы написать в лагранжевой форме уравнение Кортевега — де Вриза преобразуем его сначала к двум уравнениям второго порядка. Для этого, следуя [16], определяем две функции и соотношениями

так что уравнение КдВ сводится к системе

Плотность функции Лагранжа в этом случае имеет вид

а волновой вектор имеет две компоненты:

Частными решениями уравнений являются, как мы знаем, стационарные периодические волны которые можно написать в виде

где — фаза волны, ее волновой вектор, а — частота. По определению фазы функция является периодической:

Это соотношение определяет длину волны ее временной период и скорость V:

Компоненты волнового вектора в общем случае следует разделить на две группы. К первой мы отнесем те компоненты, которые входят в только через свои производные. Будем обозначать их через Остальные компоненты обозначаются через

Таким образом,

Уравнения Лагранжа при этом можно разбить на две группы

Существенная особенность уравнений состоит в том, что они имеют дивергентную форму (т. е. вид уравнений непрерывности). Поскольку функция Лагранжа не меняется при замене то величины играют роль потенциалов (т. е. физический смысл имеют лишь производные Отсюда, в свою очередь, следует, что наиболее общий вид решений, описывающих стационарные периодические волны, следующий:

где периодические функции фазы а а и V — произвольные постоянные. Подставляя в и получаем уравнения для стационарных волн в виде

-соф, Решения уравнений имеют вид

где постоянные интегрирования.

Условие периодичности решений накладывает определенные ограничения на эти постоянные. Чтобы их получить, заметим, что уравнения могут быть получены из следующего вариационного принципа:

где в качестве пробных функций берутся периодические функции в окрестности периодического решения а считаются при этом постоянными). Отсюда следует, что" параметры

в решении должны удовлетворять экстремальным соотношениям

где

функция, определенная соотношением , в которую подставлены решения Уравнения позволяют, в принципе, выразить постоянные через для периодических постоянных волн.

Рассмотрим теперь нелинейную квазистациоиарную волну с медленно меняющимися параметрами (на расстояниях порядка длины волны и за время порядка периода колебаний). Тогда ее можно приближенно описывать выражениями справедливыми для идеально периодических воли; величины будут теперь медленно меняться в пространстве и во времени. Фаза уже не является линейной функцией однако, как и в геометрической оптике, будем считать, что соотношения

остаются в силе. Из в частности, вытекает следующая связь между функциями и

(уравнение непрерывности для волнового числа).

Точно так же вместо комбинации следует ввести функцию такую, что

Для чисто стационарных волн является линейной функцией своих переменных. Из вытекает, что

Наконец, можно считать, что медленно меняющиеся функции в «адиабатическом» приближении по-прежнему выражаются через величины а теми же соотношениями, что и для идеально периодических воли, т. е. формулами

Таким образом, нам остается получить уравнения для функций и Для этого, следуя Уитэму, мы будем исходить из «усредненного» вариационного принципа, а именно, потребуем, чтобы величина

где X — средняя функция Лагранжа, определенная так же, как и для идеально периодической волны, соотношением принимала на искомых функциях стационарное значение, т. е.

Интегрируя по частям и предполагая, что на границах области интегрирования вариации обращаются в нуль, получим уравнения

При этом в X следует подставить величины определив их из уравнений Уравнения совместно с полностью определяют эволюцию нелинейных волн с медленно меняющимися параметрами в адиабатическом приближении.

А2. Адиабатические инварианты

Для того чтобы лучше понять сущность изложенного выше метода, а также его связь с теорией адиабатических инвариантов в механике систем с конечным числом степеней свободы, приведем другой вывод уравнений

Для этого прежде всего напомним, что из уравнений следует закон сохранения энергии

где плотность энергии и ее поток определяются известными соотношениями

Введем теперь средние значения этих величин для квазистационарных волн

Учитывая мы можем написать (имея в виду, что

Используя уравнения получаем из соотношение

Точно так же можно убедиться, что

Сравнивая получаем

Если теперь усреднить то получим следующий закон сохранения энергии для квазипериодических волн:

Подставляя сюда будем иметь

Последние три члеиа здесь обращаются в нуль, так как

Отсюда и следует уравнение которое, таким образом, является непосредственным следствием усредненного закона сохранения энергии

Если усреднить по периоду волны уравнение также имеющее вид закона сохранения, и заметить, что в силу

то получится уравнение

Метод усреднения, использованный выше, совершенно аналогичен используемому в теории адиабатических инвариантов. Как известно, адиабатический инвариант отвечающий периодическому движению с частотой со системы с конечным числом степеней свободы, имеет вид [115]

При этом

где энергия системы.

Непосредственное обобщение соотношений на случай колебаний сплошной среды имеет вид

где плотность адиабатического инварианта величины играют при этом роль обобщенных координат. Сравнивая и видим, что плотность адиабатического инварианта в нашем случае равна [16]

Уравнение имеет смысл уравнения непрерывности для плотности адиабатического инварианта, из которого следует закон сохранения полного адиабатического инварианта При этом величина является потоком адиабатического инварианта. Заметим еще, что соотношение можно переписать в виде

аналогичном

A3. Нелинейная геометрическая оптика

Применим изложенную выше теорию к простейшему случаю, когда усредненная функция Лагранжа зависит, кроме со и еще только от одного параметра. В качестве последнего всегда можно выбрать амплитуду волны а. Таким образом, будем считать, что

Уравнения принимают при этом вид

Зависимость между величинами которая следует из должна совпадать с нелинейным дисперсионным уравнением

для стационарных волн в рассматриваемом случае.

Предположим теперь, что амплитуда а мала. Тогда усредненную функцию Лагранжа можно разложить по степеням Поскольку в линейном приближении функция Лагранжа должна Зыть квадратичной относительно величин описывающих волну, то это разложение начинается с члена, пропорционального т. е.

Из тогда следует, что уравнение определяет закон дисперсии в линейном приближении В следующем приближении получаем

Решив это уравнение относительно со (с точностью до членов порядка мы, очевидно, получим нелинейный закон дисперсии (24.4). Подставляя в (24.4), приходим к уравнению Гамильтона — Якоби

В случае слабо модулированной волны, фаза которой может быть представлена в виде (24.5), из следует уравнение (24.9) для величин и Второе уравнение, как мы сейчас увидим, вытекает из Чтобы его получить, подставляем в при этом с принятой степенью точности можно считать, что где «несущие» частота и волновое число, фигурирующие в (24.5). Тогда

Выразим теперь через из (24.9) и подставим это в а последнее — в Выполняя дифференцирование в с учетом (24.7), (24.8), приходим к уравнению (24.12), которое вместе с (24.9) составляет полную систему уравнений нелинейной геометрической оптики и рассматриваемом приближении.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление