Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 29. Самофокусировка и самоканализация волн

Перейдем теперь к исследованию волн, неустойчивых относительно поперечных возмущений, предполагая, что имеют место условия (27.16).

Рассмотрим вопрос о нелинейной дифракции волны в этом случае. Опуская в уравнениях (27.7), (27.8) производные по времени и предполагая, что отношение длины волны к характерным размерам поперечных возмущений достаточно мало, получим уравнения для этого случая в виде

где

Эти уравнения эквивалентны нелинейному параболическому уравнению для комплексной волновой функции (27.1)

В случае, когда изменяется только вдоль одного из поперечных направлений, скажем, вдоль оси уравнения (29.1) становятся совершенно аналогичными

нестационарным одномерным уравнениям (28.2) (с соответствующим переопределением коэффициента согласно (29.2) и заменой на что эквивалентно комплексному сопряжению параболического уравнения).

Прежде всего здесь следует указать на однородное по отношению к х решение уравнения (29.3) [88, 891

описывающее волну с солитонным профилем интенсивности не зависящей от х. Это решение аналогично (28.12) и описывает плоский волновой пучок, где дифракционное расплывание, определяемое членом в (29.3) полностью компенсируется нелинейной самофокусировкой.

Поток энергии в такой волне определяется величиной

т. е. мощность однородного плоскопараллельного пучка обратно пропорциональна его ширине

Пусть форма волны при определяется выражением

где безразмерная функция, исчезающая при (величина выбрана так, чтобы Если ширина этой волны значительно превышает размеры солитона (29.4) с амплитудой т. е.

то волна, очевидно, должна распадаться при возрастании х на ряд плоскопараллельных каналов, близких по форме к солитонам (29.4), с амплитудами порядка Этот процесс, аналогичный рассмотренной выше одномерной самомодуляции, можно называть самоканализацией.

Естественно предположить, что аналогичные, в принципе, процессы должны были бы иметь место и для цилиндрических волновых пучков. Однако в этом случае

ситуация осложняется из-за эффектов, обусловленных двумерной геометрией сечения пучка.

Прежде всего отметим, что здесь, как и выше, существуют стационарные по х решения волнового уравнения (29.3) вида [88, 891

где функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Выражение (29.9) описывает пучок с интенсивностью, не зависящей от х. Переходя к безразмерным переменным

приводим уравнение (29.10) к виду

Нас интересуют ограниченные решения этого уравнения, исчезающие при Если пренебречь членом то (29.12) превращается в уравнение Бесселя. Таким образом, асимптотика решения, описывающего однородный пучок при должна иметь вид

Решения уравнения (29.12) при условии (29.13), вообще говоря, имеют особенность при Конечные в начале координат решения получаются лишь при дискретных значениях в (29.13); их можно также характеризовать значениями которые мы будем нумеровать в порядке возрастания этих величин.

Таким образом, получаем дискретное семейство ограниченных решений уравнения Оказывается при этом, что число корней функции совпадает с номером Решение при было получено путем численного интегрирования 1891. Высшие моды с были исследованы в [98, 99]. При этом было найдено, что

Соответственно амплитуды однородных пучков по порядку величины определяются выражениями

Радиусы пучков согласно (29.11), пропорциональны величине т. е. обратно пропорциональны амплитудам; в частности,

Из этих соотношений следует, что полная мощность однородного пучка, определенная как

где

не зависит от его ширины. Она определяется только номером соответствующей моды и, следовательно, принимает дискретный ряд значений В частности, согласно [89, 98, 99]

Однородные волновые пучки можно рассматривать как самоподдерживающиеся волноводы, где фазовая скорость меньше, чем вне пучка из-за зависимости последней от интенсивности волнового поля. Если схематично предположить, что интенсивность волны резко падает до нуля у границы пучка, то относительный показатель преломления двух областей — внутренней и внешней — равен

где а — некоторое эффективное значение амплитуды поля в пучке. Учитывая (25.10) и (29.2), получаем

Лучи в таком волноводе, попадая на его границу, должны испытывать полное внутреннее отражение. Если угол между направлением луча и осью волновода, то полное внутреннее отражение имеет место при Поскольку предполагается, что то можно написать условие полного внутреннего отражения в виде

С другой стороны, лучи отклоняются от оси волновода из-за дифракции. Для полного отражения этих лучей от границы необходимо, чтобы эффективный угол дифракции не превышал максимальный угол полного внутреннего отражения: Подставляя сюда выражения для этих углов, получаем

где некоторая безразмерная постоянная порядка единицы. Подставляя сюда (29.20), будем иметь

Величина определяет, согласно (29.17), мощность пучка. Таким образом, неравенство (29.23) означает, что наименьшая возможная мощность однородного волнового пучка должна иметь значение порядка что согласуется с величиной следующей из (29.17), (29.18).

Из изложенного ясно, что если в среду попадает пучок с мощностью то он должен дефокусироваться. Если же

то в принципе возможно образование однородных волновых пучков.

Общая картина, однако, существенно осложняется тем, что цилиндрические стационарные решения уравнения (29.3) неустойчивы относительно самосжатия [101—1031. Это связано с тем, что есл» несколько превышает величину то нелинейный член в (29.3),

определяющий сжатие пучка из-за самофокусировки, больше, чем дифракционный член так что пучок должен неограниченно сжиматься.

Здесь следует, однако, учесть, что при малых и соответственно больших а приближенное выражение (29.19), представляющее собой только первые два члена разложения в ряд величины по степеням а, теряет силу. Если при достаточно больших а величина перестает расти (т. е. наступает ее «насыщение»), то процесс самосжатия пучка прекращается.

Итак, общая картина эволюции пучка, попадающего в среду, где имеют место условия (27.16), должна выглядеть следующим образом. Если мощность пучка меньше критического значения то он расплывается. При исходная волна может распадаться на ряд пучков, сужающихся вплоть до наступления насыщения или других явлений, при которых уже несправедливо приближенное уравнение (29.3).

Все эти эффекты наблюдаются в оптике при прохождении интенсивных лазерных пучков через среды, дисперсионные характеристики которых удовлетворяют указанным выше условиям [8, 9].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление