Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава I. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

§ 2. Общее решение линеаризованных уравнений

Ряд характерных особенностей распространения волн в диспергирующих средах можно проследить уже в линейном приближении. Предположим, что рассматриваемые колебания описываются совокупностью величин удовлетворяющих определенной системе линейных уравнений в частных производных (в дальнейшем индекс для краткости опускается). Фундаментальные решения этой системы в линейном приближении имеют вид плоских волн

где закон дисперсии

определяется системой основных уравнений.

Ограничимся для простоты одномерным случаем. Тогда общее решение основных уравнений имеет вид

где фурье-компонента начального возмущения

Рассмотрим асимптотику выражения (2.3) при больших Используя метод стационарной фазы (см., например, [13]), нетрудно получить

где есть положительный корень уравнения

Если уравнение (2.6) имеет несколько положительных корней то в (2.5) надо написать сумму по этим

Рассмотрим физический смысл формулы (2.5). Из нее следует, что при тех значениях х, для которых уравнение (2.6) имеет вещественные корни возмущение представляет собой волновой пакет с переменным волновым числом частотой со и со связаны между собой дисперсионным уравнением и амплитудой, пропорциональной где определяется формулой (2.4). Из (2.6) также вытекает, что локальное волновое число перемещается в пространстве с групповой скоростью т. е. сохраняет постоянное значение вдоль характеристики

Плотность энергии пакета как функция определяется выражением

Выражение (2.8) имеет простой физический смысл, который проще всего сформулировать, если перейти от При смещении на локальное волновое число изменится на величину которая, согласно (2.6), равна

Из (2.8) и (2.9) получаем

т. е. спектральная плотность энергии при эволюции пакета не меняется и равна спектральной плотности в начальный момент времени. Из (2.8) и (2.9) также следует, что

где интервал пакета, на котором волновое число изменяется на Соотношение (2.11) можно записать в другой форме. Именно, из (2.11) следует, что величина не меняется, когда концы интервала перемещаются с групповой скоростью. Это означает, что плотность энергии распространяется с групповой скоростью и должна удовлетворять уравнению непрерывности

где групповая скорость в точке

В свою очередь волновое число сохраняя свое значение вдоль характеристики (2.7), должно удовлетворять уравнению

Подставляя в получаем это уравнение в другой форме

из которого следует, что локальное волновое число и частота пакета есть производные одной и той же функции

При этом нетрудно убедиться, что

(Действительно, дифференцируя функцию по и учитывая (2.6), получаем Таким образом, выражение (2.5) может быть представлено в виде квазистационарной волны

где амплитуда определяется предэкспоненциальным множителем в (2.5), а удовлетворяет уравнению непрерывности, аналогичному (2.12).

Для того чтобы асимптотическое выражение (2.5), из которого вытекают все эти результаты, было достаточно точным, необходимо, чтобы а также изменялись достаточно мало на расстояниях порядка длины волны и за промежутки времени порядка Иными словами, возмущение должно быть быстроосциллирующим при достаточно больших Поэтому все эти результаты можно было бы получить также методом геометрической оптики [14], представляя нашу нестационарную волну в виде (2.16), где медленно меняющаяся амплитуда, а эйконал «большая» величина. Вводя волновое число и частоту с помощью (2.15) и требуя, чтобы со и были связаны между собой дисперсионным уравнением (2.2), а энергия распространялась с групповой скоростью, мы придем к выражению (2.5) (с точностью до постоянного слагаемого в фазе).

Такой подход можно распространить и на нелинейные волны (нелинейная геометрическая оптика или адиабатическое приближение [15, 16]). Поскольку геометрическая оптика теряет силу там, где «медленные» параметры (амплитуда, волновое число и т. д.) начинают заметно изменяться на расстояниях порядка длины волны, она не позволяет в ряде случаев получить полную картину эволюции возмущения во всей области его существования (в частности, в области, где уравнение (2.6) не имеет вещественных решений для Поэтому ее следует комбинировать (где это возможно) с другими асимптотическими методами, не основанными на допущениях о быстроосциллирующем характере возмущения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление