Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 28. Самомодуляция волн

Перейдем теперь к исследованию процессов нелинейного самовоздействия волн в том случае, когда стационарные волны неустойчивы.

Рассмотрим сначала волны, неустойчивые относительно продольных возмущений, т. е. будем предполагать, что имеют место условия (27.14). Опуская в основных уравнениях (27.7) и (27.8) производные по поперечным координатам и вводя новые переменные

получим

где

Рассмотрим прежде всего решения этих уравнений, описывающие стационарные волны огибающей [88, 89, 45]. Такие решения должны иметь вид

где произвольная постоянная, а некоторые ограниченные функции. Подставляя (28.4) во второе из уравнений (28.2), получим

где постоянная интегрирования, которую мы будем в дальнейшем полагать равной нулю. Подставляя (28.5) в (28.2), получим для следующее уравнение:

Тривиальное решение этих уравнений

описывает стационарную волну постоянной амплитудой Фазовые характеристики уравнения (28.6) при имеют вид, изображенный на рис. 28.1.

Рис. 28.1. Фазовые кривые уравнения (28.6) при

Они отвечают осциллирующим волнам огибающей. Если амплитуда этих осцилляций достаточно мала, то уравнение (28.6) можно аппроксимировать следующим линейным уравнением для величины

Решения этого уравнения пропорциональны где

Это соотношение отличается лишь формой записи от дисперсионного уравнения (27.13), если положить в последнем Из (28.9) следует, что волновые числа к всегда превышают по модулю величину

которая, как нетрудно видеть из (27.13), имеет смысл границы области устойчивости: при возмущения должны экспоненциально нарастать. Если х стремится к предельному значению сверху, то

Рассмотрим теперь стационарные решения уравнений (28.2) при В этом случае

где и с — постоянные интегрирования. Фазовые кривые этого уравнения при изображены на рис. 28.2. Сепаратриса отвечает решению солитонного типа, которое имеет вид

Фазовые траектории, расположенные внутри сепаратрисы, отвечают периодическим решениям вида

где эллиптическая функция Якоби с модулем постоянные, связанные между собой соотношением и имеющие смысл предельных значений величины

Если то рассматриваемая волна огибающей превращается в малое возмущение синусоидальной формы, модулирующее стационарную волну постоянной амплитуды

Рис. 28.2. Фазовые кривые уравнения (28.11) при

При этом волновое число этого возмущения имеет величину лежащую на границе области устойчивости. При волна (28.13) превращается в последовательность солитонов, расстояние между которыми растет как

Наконец, периодические решения, лежащие вне сепаратрисы, имеют вид

Они отвечают волнам огибающей, где величина проходит через нуль.

Перейдем теперь к исследованию нестационарных модуляционных процессов, развивающихся в случае (27.14) при возмущении стационарной волны с постоянной амплитудой Для этого рассмотрим решения уравнений (28.2), имеющие вид

где описывают рассматриваемые возмущения и удовлетворяют начальным условиям

При этом

Предположим, что функция достаточно мала, так что начальную эволюцию возмущения можно проследить, исходя из уравнений (28.2), линеаризованных относительно Соответствующее решение имеет вид

где

а величина определена в (28.10) (при этом функция в (28.17) для простоты считается четной). Рассмотрим асимптотическое поведение интеграла (28.18) при больших Мы не будем здесь выписывать громоздкое общее выражение, а ограничимся двумя предельными случаями малых и больших В первом случае, применяя метод перевала, получим

где величины и определяются начальными условиями. Таким образом, в рассматриваемой области

возмущения экспоненциально растут с максимальным инкрементом

(волновое число в (28.21) совпадает с (27.15)).

При больших асимптотику выражения (28.18) можно получить, применяя метод стационарной фазы (как это делалось в гл. I). Основной вклад в интеграл в этом случае вносят области, лежащие в окрестности значений и, удовлетворяющих условию

Решения уравнения (28.23) при имеют вид

В результате получаем асимптотическое выражение

Добавка к описывает модуляционные волны, распространяющиеся от центра с групповой скоростью, равной, согласно (28.23),

Итак, общая картина эволюции возмущения (28.17) в начальной стадии процесса выглядит следующим образом [94]. В центральной области образуются крупномасштабные модуляции амплитуды с волновыми числами качественно подобные стационарным волнам (28.13). С увеличением линейное приближение теряет силу и экспоненциальный рост амплитуд прекращается. Однако глубина модуляций в этой области с течением времени увеличивается и волна распадается

на волновые пакеты, очень медленно движущиеся в рассматриваемой системе отсчета. Кроме того, от границ глубоко промодулировавшейся области распространяются модуляционные волны со скоростями, растущими с увеличением

Рис. 28.3. Распад плоской волны на волновые пакеты.

При достаточно больших где справедлива асимптотика (28.25), волновые числа (28.24) становятся больше величины Поэтому они лежат в устойчивой области. Модуляционные волны в промежуточной области имеют фурье-компоненты с и поэтому неустойчивы; они дают начало новым волновым сгусткам. Таким образом, ширина области, распавшейся на пакеты, увеличивается с ростом

Общий вид профиля при не очень больших когда ширина глубоко промодулировавшейся области еще невелика, выглядит примерно так, как это изображено на рис. 28.3.

При больших процесс самомодуляции плоской волны исследовался в работе [96] с помощью численного интегрирования (см. также [97]). Для начального возмущения было принято выражение

Вид решения при изображен на рис. 28.4. Он соответствует следующим значениям параметров: При увеличении ширина промодулировавшейся области растет.

Амплитуды пакетов стремятся к стационарным значениям (кроме центрального, имеющего вершину при который заметно пульсирует). Минимумы с течением времени уменьшаются. Расстояния между пакетами очень медленно (по сравнению со скоростью расширения области модуляции) увеличиваются.

Рис. 28.4. Вид численного решения а нелинейного параболического ураииения при начальном условии (28.26) и решение выглядит симметрично) [96].

Наиболее интересным фактом является то, что профили пакетов с достаточно установившимися амплитудами А довольно хорошо описываются выражением (28.12). Таким образом, можно заключить, что в том случае, когда исходная плоская волна неустойчива относительно продольных модуляций, малые возмущения приводят к ее распаду на солитоны. Хотя расстояния между отдельными пакетами, изображенными на рисунке, увеличиваются весьма медленно, солитоноподобная форма отдельных пакетов устанавливается достаточно быстро (разумеется, в окрестности минимумов отклонения от формулы (28.12) становятся значительными).

Далее интересно отметить довольно четкое разделение солитонов на большие и меньшие, что видно на рис. 28.4. Амплитуды больших солитонов у нас имеют величину меньших Численное интегрирование проводилось до При этом амплитуды сформировавшихся солитонов остаются примерно постоянными во времени, а их число быстро возрастает за счет расширения возмущенной области.

Фаза в пределах протяженности отдельных солитонов оказывается примерно постоянной (при данном как и должно быть согласно формуле (27.12). Однако на границе между двумя солитонами фаза довольно резко изменяется. Таким образом, при фиксированном фазу в общем можно представить как ступенчатую функцию

Примечательно, что при начальном возмущении вида

амплитуды солитонов получаются примерно такими же, как и для (28.26). Таким образом, структура квазистационарной области, где солитоны уже в основном сформировались, по-видимому, не зависит от детального вида начального возмущения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление