Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 27. Нелинейное параболическое уравнение

Как мы видели в предыдущем параграфе, приближение нелинейной геометрической оптики теряет силу (часто довольно быстро) из-за появления больших градиентов амплитуды и волнового числа. В этом случае основные уравнения необходимо дополнить членами со старшими производными, учитывающими отклонения от адиабатичности. Это проще всего сделать следующим образом.

Рассмотрим величину

где

Действительная часть описывает рассматриваемые волны в случае достаточно малых амплитуд. В линейном приближении величина удовлетворяет уравнению

где закон дисперсии в линейном приближении (т. е. функция обратна в уравнении (24.4)). Если комплексная амплитуда (27.1) изменяется достаточно медленно, то можно

написать

где точками обозначены члены с производными третьего и более высокого порядка. Подставляя (27.3) в (27.2) и учитывая, что

а также

получаем с точностью до членов, содержащих вторые производные по включительно

Подставляя сюда выражение (27.1) и беря действительную часть, получим

Мнимая часть (27.5) в точности совпадает с (24.12).

Уравнение (27.6) отличается от (24.9) в двух отношениях. Во-первых, оно не содержит члена, пропорционального Это связано с тем, что уравнение (27.6) получено из линейного уравнения (27.2). Во-вторых, оно содержит вторые производные а по координатам, которые отсутствуют в (24.9). Если бы мы исходиликак и выше, из метода геометрической оптики, подставляя выражения (24.7), (24.8) в линейное дисперсионное уравнение, то получилось бы уравнение (27.6) без вторых производных. Таким образом, из сопоставления уравнений (27.6)

и (24.9) следует, что уравнение для с учетом нелинейных членов порядка и членов с производными до второго порядка включительно должно иметь вид

Что касается второго уравнения, то оно, как мы видели, не отличается в рассматриваемом приближении от (24.12). Таким образом, второе уравнение имеет вид

Уравнения (27.7) и (27.8) составляют полную систему для величин а и отличающуюся от соответствующих уравнений в приближении геометрической оптики (или в адиабатическом приближении Уитэма) наличием членов со вторыми производными

Систему (27.7) и (27.8) можно записать в форме одного уравнения для комплексной амплитуды, определенной соотношением (27.1), а именно

Существенно, что коэффициенты системы (27.7), (27.8) или уравнения (27.9) полностью определяются нелинейным дисперсионным уравнением (24.3). Поэтому волны различной природы можно рассматривать с

единой точки зрения, как это делается в §§ 25, 26. В частности, для электромагнитного поля в нелинейной среде с показателем преломления вида (25.10) уравнение для комплексной амплитуды электрического поля принимает вид

где а — коэффициент при нелинейном члене в (25.10). При это уравнение описывает дифракцию стационарного светового пучка с учетом нелинейных эффектов. Если пренебречь нелинейным членом и членом с (который имеет порядок отношения длины волны к ширине пучка), то получится так называемое параболическое уравнение приближенной теории дифракции [91]. В связи с этим мы будем называть (27.9) нелинейным параболическим уравнением. Уравнение (27.10) исследовалось в ряде работ в связи с явлением нелинейного самовоздействия света (см., например, обзоры [8, 9]). Полученные при этом результаты, как видно из сказанного выше, можно распространить и на другие типы волн, которые описываются более общим уравнением (27.9). Ниже будут изложены важнейшие из этих результатов.

Рассмотрим прежде всего вопрос об устойчивости стационарной волны с точки зрения уравнения (27.9) или эквивалентной ему системы уравнений (27.7), (27.8) [92]. Решение этой системы, отвечающее плоской волне, имеет вид

Подставляя теперь в (27.7), (27.8) выражения

где малые возмущения, и линеаризуя получающиеся для них уравнения, придем к следующему

дифференциальному уравнению для 6а:

Рассматривая решения этого уравнения, пропорциональные получим

Из (27.13) следует, что стационарная волна неустойчива, если имеет место хотя бы одно из соотношений (25.8), (25.9). Таким образом, учет старших производных медленно меняющихся величин не меняет условий неустойчивости, полученных в приближении геометрической оптики. Изменяются лишь области значений х, отвечающие неустойчивым возмущениям (раньше неустойчивыми были возмущения при всех х, в то время как теперь — лишь при достаточно малых и). Если при этом

то максимальный инкремент нарастания неустойчивости достигается при

Возмущения будут неустойчивыми в этом случае лишь при достаточно малых Если

то максимальный инкремент достигается при

и возмущения будут неустойчивыми лишь при достаточно малых

Наконец, при

неустойчивыми могут быть возмущения, распространяющиеся под любым углом к направлению распространения волны.

При больших линеаризованное уравнение (27.12) становится непригодным, и для исследования эволюции возмущений в этой стадии необходимо рассматривать нелинейные уравнения.

Рассмотрим, например, случай, когда

т. е. стационарная волна устойчива. Переходя к переменным (25.4) и вводя новые поперечные координаты

получим основные уравнения в виде

где

Если пренебречь последним членом в (27.21), то уравнения (27.20), (27.21), как уже отмечалось выше, совпадают с уравнениями гидродинамики, где роль скорости играет плотности — величина квадрат

скорости «звука» (соответствующий показатель «адиабаты» ).

Нелинейные эффекты приводят к укручению профиля огибающей волны; когда последний станет достаточно крутым, начнет играть существенную роль последний член в уравнении (27.21). Для выяснения эффектов, определяемых этим членом, рассмотрим сначала достаточно простой случай — эволюцию возмущения на фоне плоской волны с амплитудой Если в начальном возмущении величина невелика по сравнению с то благодаря устойчивости волны эта величина не будет возрастать и в дальнейшем, так что в первом приближении уравнение (27.21) можно написать в виде

Уравнения (27.23) и (27.20) имеют вид уравнений Буссинеска (10.1), так что мы можем использовать здесь результаты, полученные в предыдущих главах.

Например, одномерные волны огибающей, распространяющиеся в невозмущенную область исходной стационарной волны, можно считать квазипростыми и описывать уравнением Кортевега — де Вриза, которое в этом случае принимает вид (для возмущений, распространяющихся вправо)

где

Поскольку параметр дисперсии в этом случае отрицателен, возмущение распадается на ряд отрицательных солитонов и расплывающийся вправо волновой пакет. Соотношение между пакетом и солитонами определяется начальным возмущением в соответствии с результатами предыдущей главы.

Общая качественная картина эволюции, намеченная выше, сохранится, разумеется, и в том случае, когда

В частности, при любых уравнениям (27.20), (27.21) удовлетворяют решения, описывающие

стационарные волны огибающей (уединенные и периодические). Такие решения нетрудно получить, подставляя в уравнения (27.20), (27.21) выражения вида

В частности, выражения, описывающие солитон, имеют вид

где минимальное значение величины в солитоне. Мы видим, что в соответствии со сказанным выше солитон огибающей здесь представляют собой «яму», перемещающуюся со скоростью V на фоне стационарной волны с амплитудой Разность фаз между точками, находящимися по обе стороны от солитона (формально между есть

Особый случай представляет солитон с В этом случае

Отметим, наконец, что все вышеизложенное непосредственно переносится на задачу о нелинейной дифракции плоской волны на бесконечно длинной щели, перпендикулярной вектору Действительно, полагая в уравнении и считая, что отношение длины волны к ширине щели достаточно мало, мы можем пренебречь членом с Тогда из (27.9) получится

Это уравнение совершенно аналогично нестационарному параболическому уравнению; роль времени при этом играет координата х. Соответственно уравнения для получающиеся из (27.32) при подстановке в него (27.1) и замене на совпадают с одномерными уравнениями (27.20), (27.21).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление