Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 26. Эволюция волн огибающих в гидродинамическом приближении

Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, описывают только начальную стадию эволюции очень малых возмущений плоской волны. В общем случае, когда мы имеем дело с волнами произвольной формы, надо исходить из полных уравнений (24.9), (24.12).

Оказывается, что в одномерном случае эти уравнения (которые сводятся к (25.5), (25.6)) в принципе могут быть решены аналитически [80, 83]. Мы рассмотрим здесь эти решения и вытекающие из них эффекты.

Предположим сначала, что волна устойчива относительно самомодуляции, т. е.

и соответственно скорость «звука» (25.7) есть вещественная величина.

Простейшие точные решения системы (25.5), (25.6) в этом случае — это простые волны огибающих, для которых расстройка волнового числа

есть некоторая функция амплитуды Подставляя это в уравнения (25.5) и (25.6) (предварительно продифференцировав первое по получаем после простых вычислений

Отсюда следует, что

где величина определена формулой (25.7). Знаки отвечают двум типам простых волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Общее решение уравнения (26.4) имеет вид

где определяется профилем волны огибающей в начальный момент

Как и в газодинамике, возмущение, распространяющееся в невозмущенную область (и граничащее с последней) есть всегда простая волна (см., например, [1]). Поэтому, если, например, на границе среды, занимающей полупространство, имеется источник монохроматической волны с амплитудой и если в какой-то момент времени амплитуда на границе изменилась, то она будет распространяться в среде, как простая волна. Профиль последней, как видно из (26.5), деформируется так, что точка, где амплитуда имеет заданное значение а, перемещается со скоростью

(мы перешли к системе, где среда покоится, см. формулы (25.4), и взяли знак плюс перед что соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении). Из (26.6) видно, что чем больше значение а, тем больше скорость точки профиля, отвечающей этому значению амплитуды. В результате профиль возмущения будет укручаться до тех пор, пока не образуется разрыв амплитуды и соответственно волнового числа. Разумеется, здесь приближение нелинейной геометрической оптики теряет силу, так как градиенты амплитуды и волнового числа становятся большими вблизи точки опрокидывания. Поэтому дальнейший анализ эволюции возмущения может быть проведен на основе более точной

теории, выходящей за пределы геометрической оптики. Эти вопросы рассматриваются в последующих параграфах.

Чтобы получить более общее решение уравнений (25.5), (25.6), описывающее не только возмущения на фоне плоской волны, но и эволюцию огибающей волнового пакета, преобразуем эти уравнения в линейные с помощью операции, аналогичной преобразованию годографа в гидродинамике.

Для этого будем считать, что величины являются независимыми переменными; таким образом, задача сводится к определению функций

из основных уравнений (25.5), (25.6), преобразованных к новым переменным.

Удобно ввести «потенциал» Ф:

Предположим, что решение нам известно и потенциал выражен с помощью (26.7) через Нетрудно убедиться, что

где

Из (26.9) получаем

Эти соотношения определяют зависимости если известна функция Чтобы получить уравнение для воспользуемся уравнением

непрерывности (25.6). Учитывая формулы

где

— якобиан преобразования, получаем из (25.6) линейное дифференциальное уравнение для функции

которое вместе с соотношениями (26.11), (26.12) и начальными условиями определяет решение.

При (т. е. для устойчивых волн) уравнение (26.14) имеет вид волнового уравнения в цилиндрических координатах с радиальной симметрией. Положив

приводим его к виду

Пусть при задан профиль амплитуды, а расстройка волнового числа равна нулю, т. е.

(напомним, что переменные связаны с координатой х в лабораторной системе отсчета и временем соотношениями (25.4)). Тогда из (26.11), (26.12) следует, что уравнение (26.16) надо решать при следующих начальных

условиях:

где функция, обратная в (26.17). Соответствующее решение можно получить, например, с помощью общего метода Римана (см., например, [85], §3.4). Оно имеет вид

где — гипергеометрическая функция.

Соотношения (26.19), (26.11), (26.12) и (26.15) позволяют в принципе определить эволюцию огибающей и момент образования «ударной волны» (когда рассматриваемая теория теряет силу). Качественно вся картина выглядит аналогично тому, как это было в простой волне огибающей, рассматривавшейся выше.

Иные результаты получаются для неустойчивых волн, когда В этом случае вместо (26.15) полагаем

и получаем из (26.14) осесимметрическое уравнение Лапласа

Решение этого уравнения может быть получено из (26.19), если сделать формальную замену —Ы. В результате получим

При этом, однако, необходимо потребовать, чтобы функция была аналитической в некоторой области, содержащей положительную полуось и путь интегрирования должен находиться в этой области. Поэтому формула (26.22) определяет решение лишь при достаточно гладких начальных условиях.

В качестве достаточно простого интересного примера рассмотрим случай, когда при имеется симметричный волновой пакет вида

где аналитическая функция в окрестности действительной оси, максимальная амплитуда, длина пакета. Тогда функция имеет вид

где функция, обратная в (26.23). Подставляя это в (26.22) и переходя к безразмерным переменным

получим

Из (26.11), (26.20) имеем

Контур интегрирования в (26.26) должен проходить в области аналитичности функции не пересекая

разрезов. Ясно, что функция имеет точку ветьлё-ния при Беря в качестве разреза часть действительной оси, идущей от точки до мы можем вычислить искомое решение как при так и при

Нетрудно теперь убедиться, что формулы (26.26) и (26.27) определяют при достаточно малых непрерывные функции

описывающие амплитудную и частотную модуляции волнового пакета, причем амплитуда является четной функцией I, а добавка к волновому числу и — нечетной.

Рис. 26.1. Путь интегрирования в выражении (26.26).

Оказывается, однако, что при некотором критическом значении времени производная обращается в бесконечность при (сама же функция тк") остается, вообще говоря, всюду конечной) (рис. 26.2).

Чтобы определить значение достаточно заметить, что

где А — якобиан преобразования от переменных

Из (26.30) видно, что особенность появляется при Для значений и отвечающих этой особенности, имеем уравнения

(второе из этих уравнений получается из (26.27), если положить там

Рис. 26.2. Эволюция огибающей волнового пакета при разных в приближении геометрической оптики (семейство верхних кривых изображает амплитуду а, нижних — расстройку волнового числа х, приведенных к [80, 83].

Тогда из первого уравнения (26.27) получаем

где безразмерная величина зависит только от формы профиля. Например, в случае, когда начальный вид

амплитуды определяется выражением

Лайтхилл получил [80, 83]

На рис. 26.2 приведены численные результаты Лайтхилла, характеризующие эволюцию волнового пакета при возрастании

Укажем еще, что в случае когда основные уравнения эллиптические, задача Коши, которая решалась выше, некорректна: малые изменения начальных условий приводят (вообще говоря, довольно быстро) к существенному изменению решения (что и выражается эффектом неустойчивости, о котором шла речь в § 25).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление