Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 25. Критерий неустойчивости стационарных волн

Применим уравнения (24.9), (24.12) к исследованию устойчивости нелинейных стационарных волн. При этом удобно несколько переопределить нелинейную добавку к фазе, положив

где амплитуда-стационарной волны. Тогда вместо уравнения (24.9) будем иметь

Замена (25.1) связана с тем, что в нелинейной стационарной волне частота, отвечающая данному значению отличается от соответствующей частоты в линейном приближении на величину (см. (24.4)).

Решение уравнений (24.12), (25.2), описывающее стационарную волну, имеет вид

Рассмотрим подробнее уравнения (24.12) и (25.2) в одномерном случае. Тогда все величины зависят только от и удобно перейти к новым переменным

— координата в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью линейного приближения ). Уравнения (25.2), (24.12) принимают вид

совпадающий по форме с уравнениями гидродинамики с показателем адиабаты При этом играет роль потенциала скоростей, роль плотности.

Соответственно квадрат скорости «звука» равен

Отсюда следует, что если т. е.

то рассматриваемая стационарная волна будет неустойчивой. Этот результат был получен впервые Лайтхил-лом [80].

Условие (25.8) определяет критерий неустойчивости по отношению к возмущениям, распространяющимся вдоль направления движения волны. Неустойчивость по отношению к поперечным возмущениям имеет место при

в чем легко убедиться, рассматривая решения линеаризованных относительно уравнений (24.12), (25.2).

Замечательно, что для применения этих критериев достаточно знать только нелинейное дисперсионное уравнение.

Рассмотрим несколько примеров, о которых шла речь в

Гравитационные волны в глубокой воде. Нелинейное дисперсионное уравнение имеет в этом случае вид (12.7). Из него следует, что

т. е. такие волны неустойчивы относительно продольных возмущений [80] и устойчивы по отношению к поперечным возмущениям.

Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике. Если нелинейная часть вектора поляризации определяется выражением (8.5), то дисперсионное уравнение имеет вид (8.10). Показатель преломления в этом случае можно написать в виде

где показатель преломления в линейном приближении. Используя соотношения

получаем, что стационарные волны неустойчивы относительно поперечных возмущений, если и неустойчивы относительно продольных возмущений, если Таким образом, условие устойчивости имеет вид

Аналогичным образом, исходя из уравнения (12.22), можно получить условия неустойчивости волн в модели нелинейного диэлектрика, где связь между полем и поляризацией определяется соотношением (12.8).

Остановимся на физическом смысле рассматриваемых неустойчивостей. При условии (25.9) фгзовая скорость волн убывает с ростом амплитуды. Это приводит к тому, что небольшое усиление интенсивности в какой-нибудь области фронта волны приводит к его искривлению так, что он принимает вогнутую форму. Таким образом, рассматриваемое возмущение приводит к самофокусировке волны. Этот эффект для электромагнитных волн был предсказан Аскарьяном [81] и в настоящее время наблюдается экспериментально при прохождении лазерных пучков через ряд сред (см., например, обзоры [8, 9]).

Что касается неустойчивости по отношению к продольным возмущениям, то ее можно толковать как самомодуляцию волны. В принципе она аналогична самофокусировке в пространстве

Следует отметить, что эффекты самофокусировки могут иметь место не только для почти Периодических волн, но, например, и в случае солитонов [82]. Пусть солитон движется вдоль оси х, а его амплитуда изменяется в направлении у. Если параметр дисперсии отрицателен, то участок с большей амплитудой движется медленнее и солитон принимает вогнутую форму.

При этом его амплитуда еще более увеличивается в области максимального искривления и мы получаем неустойчивость. При наоборот, участок с большей амплитудой движется быстрее, амплитуда на этом участке начинает убывать, так что в этом случае вместо апериодического искривления формы солитона мы получаем малые гармонические колебания последней. Таким образом, солитон устойчив по отношению к поперечным возмущениям при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление