Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава V. ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ

§ 24. Нелинейная геометрическая оптика

Методы исследования нелинейных волн, изложенные в предыдущей главе, основывались на предположениях о слабой дисперсии и одномерности колебаний. В этой главе мы изложим основы другого подхода, также связанного с рядом ограничений, но, тем не менее, имеющего большую общность и существенным образом дополняющего рассмотренную выше теорию. Основной идеей такого подхода (сформулированного в наиболее общем виде в работах Уитэма [15, 16]) является перенесение на нелинейную теорию методов геометрической оптики.

Как и в последней, мы будем предполагать, что параметры, характеризующие волну (амплитуда, частота, волновое число и т. д.), изменяются достаточно медленно на расстояниях порядка длины волны и за время порядка периода колебаний. Иными словами, мы будем считать, что волны мало отличаются от нелинейных стационарных волн, рассмотренных в третьей главе. Общий метод Уитэма, позволяющий получать уравнения для медленно изменяющихся параметров таких волн в первом (адиабатическом) приближении излагается в Приложении А. Здесь мы ограничимся более частным, но более простым методом, применимым для волн достаточно малой амплитуды, когда нелинейные члены можно учитывать в первом неисчезающем приближении. В этом случае стационарные периодические волны мало отличаются от синусоидальных, т. е., пренебрегая кратными гармониками, их можно представить в виде

где фаза колебаний, имеющая в случае стационарной волны вид

Частота стационарной волны в нелинейной теории зависит не только от но и от амплитуды, а также, вообще говоря, других параметров, которыми в линейном приближении пренебрегают. Такую зависимость мы условились в § 12 называть нелинейным дисперсионным уравнением. Рассмотрим для простоты случай, когда частота зависит, кроме волнового числа, только от амплитуды а, так что нелинейное дисперсионное уравнение имеет вид

(среда предполагается изотропной). Считая амплитуду волны достаточно малой, мы можем написать уравнение (24.3) в виде

где функция определяет закон дисперсии в линейном приближении.

Пусть теперь волна слабо отличается от стационарной, т. е. ее можно представить в виде (24.1), где и

Здесь малая добавка к фазе, обусловленная ее нелинейностью и нестационарностью, и все величины мало изменяются на расстояниях порядка Положим теперь, как и в геометрической оптике,

Подставляя это в уравнение (24.4) и ограничиваясь

членами второго порядка по получим

где

В качестве второго уравнения мы возьмем уравнение переноса энергии, которое можно написать в виде

В нашем приближении для скорости переноса энергии можно принять

т. е. считать равной групповой скорости в линейном приближении. При этом нужно учесть, кто определяется выражением (24.8). результате с принятой степенью точности получаем

где определены в (24.10).

Система уравнений (24.9) и (24.12) полностью определяет эволюцию огибающей волны, характеризуемой величинами а и Она, естественно, следует также из общей теории Уитэма в предельном случае волн малой, но конечной амплитуды (см. Приложение А).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление