Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 23. Ударные волны в диспергирующих средах

Как мы видели в § 14, ударные волны небольшой интенсивности в газодинамике могут быть описаны с помощью уравнения Бюргерса. Чтобы выяснить влияние дисперсии на структуру ударной волны, можно исходить из уравнения Кортевега — де Вриза — Бюргерса (15.14).

Рассмотрим стационарные решения этого уравнения. Подставляя

в (15.14), получим для функции обыкновенное дифференциальное уравнение

Интегрируя уравнение (23.2) один раз при условии

получим

При исследовании этого уравнения можно воспользоваться простой механической аналогией, основанной на том, что оно имеет вид уравнения движения частицы с массой

и силой трения с коэффициентом причем роль времени играет Вид изображен на рис. 23.1. Если принять, что при (т. е. ) наша «частица» находилась в начале координат то при она окажется в точке соответствующей минимальной энергии.

Рис. 23.1. График эффективного потенциала (23.5):

Таким образом, решение уравнения (23.4) описывает ударную волну, скорость которой (в рассматриваемой системе отсчета) связана с предельными значениями соотношением

В системе отсчета, где среда покоится, скорость ударной волны есть а соответствующее число Маха

равно

Это выражение не зависит от дисперсии и совпадает с известной зависимостью между числом Маха и величиной скачка для слабых ударных волн.

Характер структуры ударной волны зависит от соотношения между дисперсионным и диссипативным параметрами Если величина достаточно мала, то «частица» будет падать на дно «ямы», совершая колебания между ее стенками, В этом случае мы получаем волну с осциллирующей структурой (рис. 23.2) [77, 78].

Рис. 23.2. Структура ударной волны в диспергирующей среде при

При очень малых значениях энергия частицы будет убывать достаточно медленно и первые несколько осцилляций на фронте волны будут близки к солитонам, движущимся со скоростью

(можно показать, что расстояния между этими солитонами логарифмически растут при [77]). Если величина «коэффициента трения» больше некоторого критического значения то движение «частицы» будет апериодическим и мы получим ударную волну с монотонной структурой, как и в обычной газодинамике.

Для определения значений диссипативного коэффициента [I, отвечающих монотонному и осциллирующему профилям ударной волны, исследуем асимптотическое поведение решений уравнения (23.4) при Полагая в этом уравнении

где малая величина, и линеаризуя его относительно получим для функции уравнение:

Решения этого уравнения пропорциональны причем

Отсюда следует, что ударная волна имеет монотонный профиль при и осцилляторный при где

Если то асимптотический вид решения при следующий:

Выше предполагалось, что При как мы знаем, солитоны «отрицательны» и всегда находятся сзади «хвоста».

Рис. 23.3. Осциллирующая структура ударной волны при

В этом случае нетрудно убедиться, что осциллирующий фронт ударной волны будет иметь вид, изображенный на рис. 23.3. Такой структурой обладают, например, «косые» ударные волны в замагниченной плазме, где параметр дисперсии определяется формулой (7.20) (при условии

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление