Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22. Обтекание тонкого тела в диспергирующей среде

Результаты предыдущего параграфа оказываются полезными при изучении обтекания тел в слабо диспергирующих средах, где течение можно описывать квазигидродинамическими уравнениями Буссипеска (10.1) [571.

Ограничимся Для простоты случаем плоскогтараллёль ного потока, т. е. будем предполагать, что обтекаемое тело имеет вид цилиндра с сечением, изображенным на рис. 22.1, и образующими, параллельными оси При этом

Рис. 22.1. Поперечный разрез тела, обтекаемого потоком под некоторым углом атаки.

Будем также считать, что движение стационарно и тело в нашей системе отсчета неподвижно. Тогда можно положить

где потенциал скорости, скорость потока вдали от тела, которую мы направим вдоль оси х. Для достаточно тонкого тела величину можно считать малой.

Ограничиваясь нелинейными членами второго порядка и полагая, как и в § 10, дисперсионный член малым, придем к следующему уравнению для потенциала:

где

есть число Маха, фазовая скорости волн в линейном приближении при параметр дисперсии, показатель «адиабаты» соответствующей гидродинамики (см. §§ 5—7). Уравнение (22.2) при совпадает с точностью до нелинейных членов второго порядка включительно с уравнением для потенциала скорости при двумерном стационарном обтекании (см. [I],

уравнение (106,3)). Здесь мы будем рассматривать только сверхзвуковое обтекание, когда Для того чтобы можно было пренебрегать нелинейными членами третьего и более высокого порядка малости, необходимо потребовать, чтобы обтекаемое тело было достаточно тонким, а именно

где эффективная толщина, длина тела. Кроме того, длина дисперсии также должна быть малой по сравнению с Малым должен быть и угол атаки а.

В дальнейшем мы будем рассматривать уравнение (22.2) при граничном условии, состоящем в равенстве нулю нормальной составляющей скорости на поверхности обтекаемого тела, т. е.

где уравнения верхней и нижней линий профиля тела соответственно (рис. 22.1).

Если бы дисперсии не было, т. е. то для достаточно тонкого тела течения в областях имели бы вид простых волн (с точностью до членов третьего порядка по [1]), т. е. было бы где

некоторые функции, имеющие разный вид в верхней и нижней полуплоскостях. Эти функции удовлетворяют одной и той же системе уравнений

первое из которых следует из соотношения и уравнения (22.2), где положено а второе получается из и (22.5). Чтобы эта система имела нетривиальные решения для и диду.

определитель должен равняться нулю. Отсюда получается следующее уравнение для

Решение этого уравнения с точностью до членов второго порядка по и включительно имеет вид

где верхний знак берется для полуплоскости а нижний — для Подстановка (22.7) в (22.66) приводит к уравнению

решение которого описывает упомянутые выше простые волны.

Пусть теперь Тогда течения в верхней и нижней полуплоскостях будут иметь характер квазипростых волн (при условии (22.3) и, разумеется, при малых Для вывода соответствующих уравнений можно использовать подход, описанный в §§ 13 и 15. Ищем решение в виде

где некоторая функция порядка единицы; по-прежнему определяется формулой (22.7). Как и в аналогичных случаях в §§ 13, 15 мы можем считать, что удовлетворяет уравнению

(ср. с соотношениями (13.17) и (15.6а)).

Еще одно уравнение для можно получить, если подставить (22.9) в (22.2) и воспользоваться соотношениями и (22.7). После элементарных вычислений получаем

Исключая из (22.10) — (22.12), получаем с точностью до членов второго порядка по и и первого порядка по включительно

где знак при корне совпадает со знаком у. Что касается граничного условия для этого уравнения, то в качестве такового следует взять (22.4), где вместо подставлено (22.9), определяются выражениями (22.7) и (22.12) соответственно, т. е.

Поскольку нас в дальнейшем будут интересовать лишь эффекты, обусловленные нелинейными членами в уравнениях, мы заменим (22.14) приближенным граничным условием

которое получится, если в (22.14) опустить члены второго и более высокого порядка малости относительно величины являющейся малой для достаточно тонкого тела.

Перейдем к новым (безразмерным) переменным:

Тогда уравнение (22.13) примет вид уравнения КдВ

Уравнение (22.17) должно решаться при условиях

где

Одновременно мы получили следующий закон подобия: все течения, возникающие при обтекании подобных друг другу контуров (т. е. определяемых одинаковыми безразмерными функциями и с одинаковыми числами В подобны. Число В играет роль, аналогичную величине

где параметр подобия, определенный в § 16. Таким образом, чем меньше величина В, тем больше степень нелинейности.

Для определения общего качественного характера течения за телом важно знание первых моментов начального условия (22.19):

В частности, нетрудно убедиться, что если угол атаки отличен от нуля, то

Рассмотрим подробнее более простой случай, когда угол атаки равен нулю. В этом случае

где крайние точки тела. Таким образом, при обтекании тела под нулевым углом атаки течение

определяется решениями уравнения КдВ, рассмотренными в предыдущем параграфе (см. формулы (21.7) и далее, где нужно сделать замены ).

Из этих результатов вытекает, что структура потока будет различной при малых и больших

Рассмотрим эти области подробнее. При этом будем предполагать, что (переход к отрицательным В осуществляется заменой

Согласно формулам (22.16) это область, находящаяся внутри угла Маха и не слишком близко примыкающая к линиям Маха (обозначенным цифрой I на рис. 22.2).

Рис. 22.2. Линии равной фазы при обтекании тонкого тела с углом атаки, равным нулю. I — линии Маха солитоны.

Если где величина определена формулой (21.20), то течение описывается квазилинейным решением уравнения Кортевега — де Вриза. В рассматриваемой области это решение дается формулами (21.16) — (21.18). Если пренебречь кратными гармониками, то линии равной фазы определяются уравнением или, в координатах х, у,

где (знаки берутся для верхней и нижней полуплоскостей). На рис. 22.2 кривые этого семейства

обозначены цифрой Касательные к линиям (22.23) имеют угловой коэффициент, асимптотически приближающийся при к значение параметра с возрастает в направлении от линии Маха к оси

Уравнение линий постоянного волнового числа имеет в координатах х, у вид причем возрастает от линии Маха к оси Таким образом, коротковолновая область находится вдали от линий Маха, в то время как около последних волны, исходящие от обтекаемого тела, являются длинными.

б) Перейдем теперь к области длинных волн. Качественное представление о ней можно получить, рассматривая точки с фиксированным и достаточно большими Тогда в формуле (21.7) можно ограничиться первым членом, который представляет собой автомодельное решение (20.2). Вид функции изображен на рис. 20.1.

Обозначим через значение при котором имеет крайний правый максимум (будем называть его в дальнейшем первым). Из рис. 20.1 видно, что При уменьшении параметра подобия (здесь функция стремится к соответствующему решению линеаризованного уравнения, т. е. к последнее же имеет первый экстремум при Таким образом, при уменьшении а. Как показывают численные расчеты (см. рис. 20.1), все еще очень мало даже при когда перестают существовать квазилинейные течения. Уравнение линии первого максимума в координатах х, у имеет вид (22.23), где с является отрицательной величиной, малой по модулю. Эта кривая изображена на рис. номером она выходит за пределы угла Маха, а ее наклон при уменьшается, приближаясь к наклону линии Маха.

в) При (т. е. в профилях решения появляются солитоны. Вершины последних «движутся» вдоль линий амплитуда солитона. В координатах х, у уравнения этих линий имеют вид

т. е. представляют собой прямые, лежащие вне угла Маха (кривая IV, рис. 22.2). Их угловой коэффициент увеличивается с амплитудой эти амплитуды не должны меняться после того как солитон сформировался.

Наконец, уточним область применимости всех наших асимптотических выражений.

Соответствующее условие проще всего получить из уравнения (22.23), потребовав, чтобы второй член в правой части был значительно меньше первого. Тогда, принимая во внимание, что получим

Кроме того, условие (см. примечание на стр. 97) означает, что

где длина дисперсии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление