Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Квазилинейные решения уравнения Кортевега — де Вриза

Автомодельные решения, рассмотренные выше, представляют собой лишь один пример решений, качественно подобных решениям линеаризованного уравнения КдВ. В этом параграфе мы рассмотрим более общий класс таких решений [57].

Остановимся сначала на Вопросе о нелинейных поправках к решениям линеаризованного уравнения КдВ (3.2). Последние представляют собой волновые пакеты, общий вид которых изображен, например, на рис. 3.1. В коротковолновой области этих пакетов осцилляции могут рассматриваться как квазистационарные синусоидальные волны с медленно меняющимися волновым числом и амплитудой а (см. формулы (3.11) и (3.13)).

При учете нелинейного члена в уравнении КдВ соответствующие нелинейные поправки в первом приближении будут описываться членами порядка в формуле (10.15), где определяется уравнением (10.16). Отсюда следует, что условие малости нелинейных членов имеет вид

Подставляя выражения для из (3.11), (3.13) в (21.1), получаем

где фурье-образ начального возмущения (см. формулу (3.10)). Рассмотрим теперь движение точки с постоянной фазой колебаний, например, гребня волны в пакете. Уравнения движения этой точки имеют, согласно (3.11), следующий вид:

Определяя отсюда х и подставляя в (21.2), получим зависимость величины от времени для точки с фиксированной фазой

Учитывая (3.10), получаем, что при больших

где первый отличный от нуля момент начального возмущения:

при В частности, если

то при т. е. нелинейные эффекты станут существенными при достаточно больших каким бы ни было малым начальное возмущение и.

Если то из (21.3) следует, что при величина Таким образом, в этом случае величина и вместе с ней нелинейные эффекты будут малыми при всех если они были малыми при малых

Исходя из этого, можно искать решение уравнения КдВ при

в виде, аналогичном (3.7), а именно

где

а некоторые функции, которые по аналогии с (3.7) мы будем предполагать затухающими при

Подставляя (21.7) в уравнение КдВ, получим рекуррентную систему уравнений для

которая определяет любую из функций через первые функций. При из (21.10) получается уравнение (20.3), т. е. первый член разложения (21.7) представляет собой автомодельное решение уравнения КдВ.

Исследуем теперь асимптотическое поведение решений системы (21.10). Благодаря условиям (21.9), при можно пренебречь нелинейными членами 6 системе

(21.10), т. е. заменить ее линейными уравнениями

Общие решения этих уравнений имеют вид где удовлетворяет уравнению

Ограничиваясь, как и в § 20, решениями, экспоненциаль но затухающими при мы должны положить так что асимптотика функций при -мхэ имеет вид

где постоянные. При мы возвращаемся к соотношению (20.6). Рассуждая далее, как и в предыдущем параграфе, можно заключить, что при асимптотика функций имеет вид

где мы выписали наряду с главными члены следующего порядка по Коэффициенты в (21.12) определяются начальными условиями; постоянные слагаемые в фазах добавлены из соображений удобства, а величины

выражаются через следующим образом 1 к

При формулы (21.12) и (21.13) дают, естественно выражение (20.9).

Из соображений, изложенных в начале этого параграфа, следует, что при условии (21.6) и разложение (21.7) должно переходить в (3.7). Это позволяет написать приближенные выражения для коэффициентов через моменты начального возмущения, справедливые при малых

Что касается общего разложения (21.7) и асимптотических выражений для то они справедливы и при Хотя определить коэффициенты в этом случае, вообще говоря, нельзя, из формул (21.7), (21.11), (21.12) можно извлечь полезную информацию относительно общего вида асимптотики решения при больших х.

Подставляя, например, соотношения (21.12) в (21.7), получаем следующее асимптотическое выражение для

решения при больших отрицательных

где

В предельном случае когда имеют место соотношения (21.14), (21.15), выражения (21.18) принимают в соответствии с (3.10), (3.11) вид

где — фурье-образ начального возмущения При соотношения (21.19) уже не имеют места. Тем не менее формула (21.16) полезна и в этом случае, так как она содержит важную информацию относительно общего характера решения. Из нее следует, что решение при имеет вид синусоидальных волн, фаза которых зависит от как а амплитудные коэффициенты главной гармоники зависят от только через локальное волновое число определяемое формулой (21.17). При этом общая зависимость фаз и амплитуд главной гармоники от х и Этакая же, как и в решении линеаризованного уравнения КдВ. В связи

с этим мы будем называть решения вида (21.7) квазилинейными решениями.

Оказывается, что квазилинейные решения существуют только при где некоторое критическое значение числа а. Это вытекает из того, что все функции определяются уравнениями (21.10) через функцию входящую в автомодельное решение.

Рис. 21.1. Эволюция возмущений, описываемых уравнением КдВ при начальном условии (21.21) и Кривые I, II, III отвечают моментам времени

Последнее же, как следует из результатов § 20, является регулярным лишь при условии (20.7). Используя для грубой оценки формулу (21.14) при получаем, что из (20.7),

(21.14) следует Поскольку («о и I — характерные амплитуда и длина начального возмущения), то

где

Численные расчеты показывают, что при значениях о, превышающих критическую величину в головной части решения возникает солитон (что естественно ожидать с точки зрения результатов § 18.

Рис. 21.2. То же, что на рис. 21.1, но при

Такие решения, разумеется, уже не могут иметь вида (21.7).

В качестве иллюстрации приведем результаты численных решений уравнения КдВ (полученных в работе [76]) при начальном условии вида

удовлетворяющем (21.6). Параметр подобия определен здесь как Соответствующие численные решения

изображены на рис. 21.1-21.3. На первых двух рисунках представлены решения при для трех моментов времени Мы видим, что при самый правый максимум неподвижен, а остальные движутся влево.

Рис. 21.3. Вид решения уравнения КдВ при начальном условии

При этом амплитуды всех максимумов убывают с ростом На рис. 21.2 видно, что головная волна движется вправо и при отрывается от «хвоста», расплывающегося влево. При этом амплитуда этой волны при больших перестает изменяться. Скорость движения максимума, определенная экспериментально, приближается к скорости солитона той же амплитуды, а профиль ее довольно точно совпадает с профилем солитона.

На рис. 21.3 изображен профиль численного решения при Как видно из этого рисунка, здесь образуется не менее двух солитонов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление