Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Автомодельное решение уравнения Кортевега — де Вриза

Уравнение инвариантно относительно преобразования

Поэтому ему удовлетворяет следующее автомодельное решение [20, 21]:

Подставляя (20.2) в уравнение КдВ, получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции

Мы ограничимся здесь исследованием решений этого уравнения, которые экспоненциально затухают при

[21]. Таким образом, при мы можем пренебречь в (20.3) нелинейным членом. Полагая при этом

получим для уравнение Эйри

решение которого, экспоненциально затухающее при имеет вид (3.4).

Таким образом, асимптотика рассматриваемых решений уравнения (20.3) определяется выражением

Поведение этих решений при небольших и отрицательных значениях можно выяснить с помощью численного интегрирования.

Рис. 20.1. Вид функций определяющих автомодельное решение (20.2) уравнения при различных значениях постоянной

Соответствующие результаты изображены на рис. 20.1. Если постоянная с в (20.6) по модулю меньше некоторого критического значения

то функции при отрицательных осциллируют с медленно растущей амплитудой. При решения

имеют особенность; можно показать, что эта особенность есть полюс вида где а — некоторое отрицательное число. Такие функции мы также рассматривать не будем.

Дальнейшие свойства решений при можно установить следующим образом. Предположим, что постоянная с в (20.6) достаточно мала. Тогда решение уравнения (20.3) будет мало отличаться от производной функции Эйри и при отрицательных Исходя из этого, будем искать асимптотику при в следующем виде:

где медленно меняющиеся функции. Подстановка выражения (20.8) в уравнение (20.3) приводит к следующему результату:

где некоторые постоянные. Это соотношение хорошо согласуется с численными решениями.

Итак, рассмотренные нами автомодельные решения уравнения КдВ экспоненциально затухают при а при либо осциллируют с медленно растущей амплитудой, либо имеют полюс при По своему качественному поведению решения при весьма близки к соответствующим автомодельным решениям линеаризованного уравнения КдВ.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление