Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Асимптотические выражения для амплитуд солитонов и «хвостов» при больших «сигма»

При больших значениях параметра о число образующихся солитонов, вообще говоря, также велико, так что их можно характеризовать функцией распределения определяющей число солитонов с амплитудами в интервале [65]

С другой стороны, плотность числа уровней уравнения Шредингера (18.21) при больших о определяется квазиклассической формулой (см., например, [72], § 48)

Учитывая (18.22), получаем следующее выражение для плотности числа солитонов при больших а:

где область интегрирования определяется условием

Из (19.3), в частности, следует, что амплитуды солитонов не превышают удвоенного максимума начального возмущения (17.1)

Интегрируя (19.3), получаем асимптотическое выражение для полного числа солитонов [65, 75]

Таким образом, при больших о число солитонов определяется вкладом только тех областей, где начальное возмущение положительно:

Оценим теперь величину «хвоста» (волнового пакета), которая определяется значением инвариантов При больших а уравнения (18.26), (18.27), выражающие законы сохранения, принимают вид

Подставляя сюда (19.3), получим [751

Такйм образом, величина при больших Содержит вклады только тех областей, где начальное возмущение отрицательно. Если при всех х, то из (19.8) следует, что так что в этом случае можно говорить (с асимптотической точностью), что возмущение полностью распадается на солитоны. Результаты численных расчетов, приведенные в предыдущем параграфе, показывают, что этот результат, а также формула (19.6) имеют хорошую точность и при сравнительно небольших например, таблицу на стр. 86).

Наконец, остановимся еще на одном аспекте изложенных в этом параграфе результатов [73].

Рис. 19.1. Сравнение асимптотических решений уравнений кривая кривая сплошная кривая (6).

Поскольку из определения числа вытекает, что предельный случай может реализоваться при конечных то полученные выше формулы определяют асимптотическое решение уравнения при малых значениях параметра

Рассмотрим это решение при условии и сравним его с решением уравнения для простой волны в гидродинамике (см. § 13)

при тех же начальных условиях, а также с асимптотическим решением уравнения Бюргерса (13125) при (это решение определяется формулами (14.9) и имеет треугольный профиль с ударной волной на фронте).

Решение уравнения (19.9) при достаточно больших изображается кривой на рис. 19.1, а; а решение уравнения Бюргерса — кривой При одинаковых начальных условиях площади этих кривых равны,

поскольку из уравнений (19.9) и (13.25) вытекает сохранение импульса

Решение уравнения КдВ при состоит, согласно сказанному выше, из ряда солитонов, число которых растет как а ширина убывает как Это решение изображено на рис. 19.1, б.

Заметим далее, что при инварианты уравнения КдВ принимают, согласно (16.8), вид

и, следовательно, совпадают с инвариантами уравнения (19.9), которое имеет бесконечное число законов сохранения вида

Таким образом, при одних и тех же начальных условиях профиль и профиль, изображенный на рис. имеют в предельном случае не только одинаковые площади, но и другие инварианты вида (19.10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление