Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1. Введение

Нелинейные волновые процессы интенсивно изучаются в настоящее время в самых различных разделах физики и механики: оптике, физике плазмы, радиофизике, акустике, гидродинамике и т. д. Хотя в каждой из этих областей есть свои специфические проблемы, методы и результаты, можно указать ряд качественных закономерностей, являющихся, по существу, простыми следствиями общей теории нелинейных волн в диспергирующих средах. Несмотря на то, что такая теория еще далека от своего завершения, в ряде ее направлений уже достигнута определенная ясность; особого внимания при этом заслуживает анализ некоторых предельных случаев, когда удается получить достаточно общие результаты асимптотического характера.

Классическим примером волн с дисперсией, легко доступных непосредственному наблюдению, являются гравитационные волны на поверхности воды. Если глубина жидкости мала, то, как известно, фазовая скорость колебаний равна т. е. дисперсия несущественна; нелинейные волны распространяются в этом случае, как и в обычной газодинамике (теория «мелкой воды») [1, 2]. Наиболее важным нелинейным эффектом при этом является увеличение крутизны фронта волны, приводящее к ее опрокидыванию. По мере увеличения глубины жидкости становится существенной дисперсия. В этом случае волны с разными имеют различную скорость, и нелинейное укручение фронта может уравновеситься его дисперсионным расплыванием. Благодаря этому становится возможным существование так называемых стационарных волн, распространяющихся без изменения своей формы с постоянной скоростью. Ясно, что этот эффект является достаточно общим и может иметь место в любых диспергирующих средах. Поэтому не случайно, что нелинейные стационарные волны (в гидродинамике

они иногда называются «прогрессивными») впоследствии были обнаружены в плазме (где влияние дисперсии часто очень существенно), а также и в других диспергирующих средах.

Еще сравнительно недавно доказательство существования нелинейных стационарных волн было почти единственным общим результатом теории. В последнее время центр тяжести исследований переместился в направлении изучения нестационарных волновых процессов. Один из подходов к этому кругу вопросов состоит в соответствующем обобщении некоторых представлений гидродинамики. В последней, как известно, характерные особенности нелинейных эффектов могут быть выявлены на примере так называемых простых врлн. Оказывается, что это понятие можно в определенном смысле обобщить и на случай слабо диспергирующих сред при условии, что амплитуды волн достаточно малы. Такие волны можно называть «квазипростыми». В простейшем случае обычной газодинамики с вязкостью и теплопроводностью, где дисперсия является «мнимой» этот подход приводит к уравнению Бюргерса, решение которого хорошо описывают такие нестационарные процессы, как, например, образование ударных волн. Для сред с «действительной» дисперсией мы получаем в том же приближении уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ).

Одним из наиболее замечательных достижений последнего времени является создание последовательной теории уравнения КдВ, позволившей установить ряд важных закономерностей нестационарных волновых процессов в слабо диспергирующих средах (здесь следует особенно выделить фундаментальную работу [6]).

Другое плодотворное направление связано с так называемой адиабатической теорией нелинейных волн [7], которая применима в принципе и к сильно диспергирующим волнам произвольной амплитуды. Основные допущения этой теории сводятся к «медленности» изменения амплитуды, волнового числа и других величин, характеризующих волну на расстояниях и за времена порядка одного периода колебания. В определенном смысле такое приближение представляет собой обобщение теории адиабатических инвариантов в механике. Для волн малой амплитуды основные уравнения адиабатического

приближения могут быть получены путем нелинейного обобщения известного перехода от волновой оптики к геометрической. При этом они принимают вид уравнений гидродинамики, где, однако, квадрат скорости «звука» может быть как положительной, так и отрицательной величиной. В последнем случае соответствующие волны оказываются неустойчивыми относительно малых возмущений их огибающей. Нелинейная самофокусировка света, интенсивно изучаемая в настоящее время (см., например, обзоры [8, 9]), также относится к этому кругу явлений. Ясно, что для неустойчивых волн уравнение адиабатического приближения имеет весьма ограниченную область применимости. Для устойчивых волн это приближение перестает быть оправданным после того, как из-за нелинейного укручения формы огибающей перестают выполняться условия адиабатичности. Учет соответствующих членов с высшими производными (описывающих дисперсионное расплывание волновых пакетов и дифракционные эффекты) приводит к так называемому нелинейному параболическому уравнению, которое позволяет объяснить ряд наблюдаемых на опыте эффектов для самых различных типов волн.

Сказанное выше определяет содержание книги.

В первой главе рассматривается распространение волн с дисперсией в линейном приближении. Мы ограничились здесь изложением наиболее важных моментов, связанных с нелинейными обобщениями, которые обсуждаются в дальнейшем. Во второй главе рассматриваются некоторые характерные примеры диспергирующих сред и выясняются общие особенности уравнений, описывающих нелинейные волны в таких средах. Третья глава посвящена изучению стационарных волн. В четвертой главе излагается теория нелинейных волн со слабой дисперсией. Здесь выводятся и исследуются уравнения Бюргерса и Кортевега — де Вриза, которые применяются затем к ряду конкретных задач. В пятой главе рассматриваются основы адиабатической теории нелинейных волн и нелинейное параболическое уравнение. В соответствии с индуктивным характером изложения, принятым в книге, мы ограничились здесь наиболее простой формой адиабатической теории, применимой к волнам достаточно малой амплитуды. Общая формулировка основных принципов адиабатической теории дана в Приложении А.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление