Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. Об аналитическом решении уравнения Кортевега — де Вриза

Глубокие аналитические результаты, позволяющие понять ряд общих закономерностей эволюции возмущений, описываемых уравнением КдВ, были получены в работе [6] (см. также [68]). Оказалось, что амплитуды солитонов, образующихся из начального возмущения (17.1) (достаточно быстро затухающего при определяются собственными значениями некоторой

краевой задачи Штурма — Лиувилля (или, выражаясь языком квантовой механики, уровнями энергии в некоторой потенциальной яме). Чтобы показать это, а также ряд других важных результатов, рассмотрим уравнение Шредингера

где потенциальная энергия собственное значение и волновая функция зависят от как от параметра, причем эта зависимость определяется тем, что удовлетворяет уравнению КдВ вида

Определяя и из уравнения (18.1) и подставляя в (18.2), получим -

Если К принадлежит к дискретному спектру, то сходится. Интегрируя обе части соотношения (18.4) по х, получим

т. е. собственные числа дискретного спектра не зависят от времени. Что касается непрерывного спектра, то в этом случае можно считать, что соотношение (18.5) выполняется автоматически. Интегрируя дважды уравнение (18.4) и учитывая (18.5), получим

где постоянные интегрирования. Если есть собственная функция дискретного спектра, то (поскольку экспоненциально затухает при

Из условия нормировки ясно, что постоянная А также должна равняться нулю. Таким образом, зависимость собственных функций дискретного спектра от времени определяется уравнением

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение при Для собственной функции уровня получим

где

Подставляя (18.8) в (18.7), будем иметь

Если принадлежит к непрерывному спектру, т. е. то соответствующую ему собственную функцию мы выберем таким образом, чтобы она описывала волну, падающую из области Тогда асимптотика имеет вид

Подставляя это в уравнение (18.6), получим и

На языке теории рассеяния величины имеют смысл коэффициентов прохождения и отражения соответственно. При этом они должны удовлетворять соотношению

Поскольку собственные значения дискретного спектра не зависят от времени, то а также и коэффициенты отражения и прохождения можно в принципе вычислить, решив уравнение

Шредннгера (18.1) при при потенциале, равном начальному условию для уравнения С другой стороны, из общей теории рассеяния известно, что величины однозначно определяют потенциал в уравнении Шредингера (обратная задача теории рассеяния. - ОЗТР). Для того чтобы восстановить потенциал и по этим данным, надо составить интегральное уравнение ОЗТР для одномерного случая [69—71]

где

и решить его относительно при Тогда потенциал определится соотношением

Эта процедура позволяет в принципе построить решение уравнения по начальному условию В частности, из (18.14) — (18.16) можно получить информацию относительно солитонов, образующихся из начального возмущения Рассмотрим для этого асимптотику решения при где максимальное из чисел Из соотношений (18.9) — (18.12) следует, что в этом случае В правой части (18.15) можно пренебречь интегралом, а в сумме — удержать только главный член с т. е. положить

Тогда асимптотическое решение уравнения (18.14) принимает вид [71]

Подставляя это в (18.16), будем иметь

где

Выражение (18.18) описывает солитон с амплитудой и скоростью т. е. представляет собой стационарное решение уравнения КдВ (ср. с формулой (16.9)).

Аналогичным образом можно получить асимптотический вид решения в области В этом случае, очевидно, в качестве можно принять выражение (18.17), где вместо стоят Соответственно решение уравнения (18.2) будет опять иметь вид солитона, параметры которого определяются числами Таким образом, при и достаточно больших положительных х решение будет иметь вид совокупности солитонов, движущихся в положительном направлении со скоростями, пропорциональными их амплитудам

где — собственные значения дискретного спектра уравнения Шредингера (18.1) при

Еслн теперь вернуться к уравнению КдВ в форме (15.9), а начальное условие писать в виде (17.1), то амплитуды образующихся солитонов связаны с собственными значениями уравнения Шредингера

соотношениями

где параметр подобия (17.5), а амплитуда начального возмущения (17.1).

Отсюда, в частности, следует, что если то солитоны не могут возникнуть, каково бы ни было

Если удовлетворяет условию то солитоны появляются только при достаточно большом Этот случай рассматривается в § 21. Наконец, если

то уравнение Шредингера всегда имеет дискретный спектр; при малых о он состоит всего из одного собственного значения, которое может быть найдено по теории возмущений (см. [72], § 45). Соответственно при условии (18.23) всегда образуется по крайней мере один солитон, амплитуда которого при малых приближенно равна

Условие применимости теории возмущений имеет при этом вид

где значение параметра подобия для солитона (см. (17.6)).

Можно также получить достаточно простые выражения, определяющие амплитуду солитонов в другом предельном случае — при больших Этот вопрос мы рассмотрим в § 19.

Перейдем теперь к области малых и отрицательных значений х. Асимптотический вид решения в этой области при достаточно больших определяется первым членом в правой части формулы (18.15). Из общего вида этого члена и характера зависимости коэффициентов от времени видно, что он описывает осциллирующий «хвост», имеющий вид волнового пакета, о котором говорилось в начале этого параграфа. Детальное его исследование с помощью приведенных выше формул затруднительно.

Хотя этот пакет и расплывается, его вклад в инварианты, в частности в «энергию» и «импульс» остается постоянным, так что возникает вопрос об относительной величине этих вкладов. Для исследования этого вопроса будем исходить из законов сохранения

Пусть начальное возмущение распалось на солитонов с амплитудами и волновой пакет. После того как солитоны разойдутся и сместятся на достаточно большое расстояние от волнового пакета, можно будет считать, что значение инварианта равно сумме соответствующих инвариантов для отдельных солитонов и волнового пакета.

Обозначая значение инварианта для волнового пакета через и учитывая формулу (16.10), получим законы сохранения в виде

где

Введенная здесь величина есть плотность инварианта порядка, в которую вместо и подставлено а вместо величина

В частности, из формулы (16.8) вытекает соотношение 1731

которое является асимптотическим выражением для при больших а (но не обязательно малых (5).

Не останавливаясь на случаях, когда и заведомо ясно, что вклад волновых пакетов в превышает или сравним с вкладом от солитонов, будем предполагать, что выполняется условие (18.23). Если при этом достаточно мало, то образуется всего один солитон, амплитуда которого определяется формулой (18.24). Подставляя ее в уравнение (18.26) при получим, что энергия солитона является величиной второго порядка малости относительно так что основная часть энергии начального возмущения остается в «хвосте». Что касается импульса (или площади контура), то нетрудно убедиться, что импульс солитона вдвое превышает импульс начального возмущения, так что площадь контура «хвоста» отрицательна и равна по величине площади профиля начального возмущения.

С другой стороны, если начальное возмущение удовлетворяет условию

а величина параметра подобия о достаточно велика, то, как показывает анализ, проведенный в работах [73, 74], вкладом волнового пакета в инварианты можно пренебречь.

Рассмотрим, например, начальное возмущение с профилем

В этом случае уравнение Шредингера (18.21) имеет простое аналитическое решение (см., например, [72], §§ 23, 25) и для амплитуд солитонов получается выражение

Подставляя (18.30) и (18.31) в формулы (18.26), (18.27), мы можем определить величины характеризующие относительные вклады волнового пакета в инварианты различных порядков. Результаты

иллюстрируются следующей ниже таблицей, где приведены значения величины (в процентах) для первых пяти инвариантов при различных значениях параметра а. Через обозначено число солитонов, образующихся при данном а.

(см. скан)

Из приведенных данных видно, что относительные значения инвариантов для волнового пакета убывают при увеличении при этом даже для вклад волнового пакета невелик. Эти выводы справедливы и для других типов начальных возмущений, например для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление