Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Общая картина эволюции начальных возмущений в слабо диспергирующих средах

Предположим, что в слабо диспергирующей среде, где справедливы, скажем, уравнения Буссинеска (10.1), имеется некоторое одномерное начальное возмущение с амплитудой скорости и шириной порядка Если то возмущение можно считать слабо нелинейным и при не слишком большой величине I оно распадается на две квазипростые волны, бегущие в разные стороны со скоростями, близкими к Эволюцию каждой из этих волн можно исследовать с помощью уравнения КдВ (15.7) или — в системе отсчета, движущейся со скоростью относительно среды, — (15.9).

Рассмотрим теперь решение уравнения КдВ (15.9) при начальном условии

где безразмерная функция, характеризующая начальный профиль квазипростой волны.

Переходя к безразмерным переменным

получаем уравнение КдВ и начальное условие (17.1) в виде

где а — безразмерный параметр, определяемый формулой

Из (17.3) и (17.4) следует, что решения уравнения КдВ, отвечающие начальным условиям с одинаковыми должны быть подобными между собой [67].

В частности, для всех солитонов, удовлетворяющих уравнению КдВ (см. формулу (16.9)), параметр а имеет одно и то же значение, которое мы обозначим через если принять, что для солитона

Заметим, что величина определяет отношение нелинейного члена в уравнении Кортевега — де Вриза к дисперсионному (в начальной стадии эволюции). Поэтому при малых значениях дисперсионные эффекты проявляются гораздо раньше, чем нелинейные, а при больших — наоборот. Поскольку при этом для солитонов дисперсионные и нелинейные эффекты находятся в равновесии, то при

возмущение будет слабо нелинейным, а при

— сильно нелинейным. Соответственно в случае (17.7) (и не слишком больших значениях возмущение будет приближенно описываться решением линеаризованного

уравнения КдВ, рассмотренным в § 3. Оно имеет вид волнового пакета, изображенного на рис. 3.1.

В случае (17.8) возмущение ведет себя сначала как простая волна без дисперсии, т. е. крутизна профиля увеличивается там, где возмущение больше. При достаточно большой крутизне станет существенной дисперсия и в результате возмущение распадется на отдельные группы волн. Как показали численные решения уравнения КдВ, проведенные в работах [66, 67, 55], и появившаяся вскоре аналитическая теория [6], эти группы в конечном итоге превращаются либо в солитоны, либо в почти линейный волновой пакет, который расплывается с течением времени.

Поскольку при этом скорости солитонов пропорциональны их амплитудам: (см. (16.9)), то солитоны располагаются в порядке возрастания амплитуд, т. е. впереди будет наибольший. Быстро осциллирующий волновой пакет (или «хвост», как мы будем называть в дальнейшем) остается сзади, так как, согласно дисперсионному уравнению линейной теории его групповая скорость отрицательна.

В качестве иллюстрации сказанного мы приводим рис. 17.1, где изображены численные решения уравнения КдВ, полученные в работе [67] для начального импульса вида и значений параметра

В первом случае возмущение распадается на один солитон и волновой пакет. Во втором — на шесть солитонов; волновой пакет при этом имеет очень малую амплитуду и на рисунке не изображен. Нетрудно видеть, что вершины солитонов лежат примерно на одной прямой. Это связано с тем, что скорость солитона пропорциональна его амплитуде, поэтому расстояния, пройденные солитонами, будут пропорциональны их амплитудам.

В работе [55] исследовалось «столкновение» двух солитонов: солитон большой амплитуды, находившийся вначале сзади, догонял солитон меньшей амплитуды. Возмущение, которое возникало после их наложения,

распадалось опять на два солитона, в точности совпадающих с начальными, но теперь уже расположенных в обратном порядке: больший солитон — впереди, а меньший — сзади.

Рис. 17.1. Вид решений уравнения КдВ и при достаточно большом для двух значений параметра подобия: (слева) (справа).

Этот результат по существу является экспериментальным доказательством устойчивости солитонов: они сохраняют свои характеристики после взаимодействия. Аналогичные результаты — образование солитонов и их сохранение после взаимодействия — получены в работе [66] при начальном условии

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление