Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Законы сохранения для уравнения Кортевега — де Вриза

Уравнение КдВ может быть написано в дивергентной форме

имеющей вид закона сохранения «импульса» Умножая обе части уравнения КдВ на после несложных вычислений получим еще два закона сохранения

Соотношение (16.2) можно интерпретировать как закон сохранения энергии. Что касается уравнения (16.3), то оно, по-видимому, не имеет достаточно простого физического истолкования (впервые на этот закон сохранения обратил внимание Уитэм [15]). Крускал, Забуски и Миура 155] получили ряд других независимых законов сохранения. После этого в работах [63, 64] было доказано, что уравнению КдВ отвечает бесконечное число сохраняющихся величин (инвариантов)

плотности которых удовлетворяют соотношениям вида

и являются (вместе с потоками полиномами от пространственных производных .

Рассмотрим коротко общую структуру плотностей Расположим члены в в порядке возрастания степеней параметра дисперсии Тогда член, не содержащий всегда пропорционален Пользуясь

тем, что величины определяются с точностью до постоянного множителя, удобно писать этот член в виде Далее, величина содержит члены, пропорциональные причем коэффициенты при имеют вид некоторых полиномов от общую структуру которых можно установить из соображений размерности. Каждое слагаемое должно иметь размерность поэтому, если общий член такого полинома имеет вид то показатели степеней должны удовлетворять условиям

где

(В частности, величины не содержат

В качестве иллюстрации приведем здесь первые шесть плотностей сохраняющихся величин [55, 63, 64]:

Общий алгоритм вычисления численных коэффициентов при отдельных слагаемых в полученный в работах [63, 64], здесь рассматриваться не будет. Мы укажем только, что коэффициент в при члене, содержащем в первой степени, имеет довольно простой вид,

а именно

Эту формулу можно использовать для вычисления в том случае, когда величина является малым параметром.

Приведем также еще одно общее соотношение, а именно значение инварианта произвольного порядка для солитона, описываемого уравнением КдВ. В этом случае

(см. формулы (10.9), (10.10), где положено В [65] было указано, что

где — значение инварианта для солитона.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление