Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Уравнение Кортевега - де Вриза

Рассмотрим теперь среды, где диссипация пренебрежимо мала, но зато имеется вещественная дисперсия (достаточно слабая), так что дисперсионное уравнение в линейном приближении имеет вид

В этом случае также можно получить уравнение для

квазипростой волны, отличающееся, как и уравнение Бюргерса, от (13.9) членом со старшей производной.

Пусть, например, нелинейные волны описываются обобщенными уравнениями Буссинеска (10.1):

Предположим, что величины

длина дисперсии - характерная длина волны) являются малыми первого порядка.

Как и в § 13, будем искать решение уравнений в виде

где совпадает с соответствующей функцией в простой волне, т. е. определяется соотношениями (13.5), (13.8), а некоторая величина второго порядка малости. Имея в виду волну, распространяющуюся в положительном направлении и пренебрегая членами выше второго порядка малости, мы можем считать, что удовлетворяет уравнению

(ср. с (13.17)). Подставляя (15.5) в и используя (13.5), (13.8), получим с принятой точностью

Исключая из уравнений (15.6), приходим к уравнению

которое описывает квазипростую волну при наличии дисперсии. При оно превращается в уравнение для простой волны, а в линейном приближении приводит к закону дисперсии (15.1).

Переходя к новым переменным

получаем уравнение (15.7) в виде

(здесь и в дальнейшем штрихи при независимых переменных опускаются).

Уравнение (15.9) было впервые получено Кортевегом и де Вризом для волн на поверхности неглубокой воды (где дисперсионное уравнение имеет вид [50] и в недавнее время для ряда других случаев (волны в плазме, ангармонические колебания в решетке и т. д.) [20, 21, 51—59]. Из вышеизложенного ясно, что уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ) имеет универсальный характер: оно справедливо во всех случаях, когда закон дисперсии имеет вид (15.1) и при существуют простые волны.

Рассмотрим, например, плазменные волны, распространяющиеся под углом к магнитному полю, описываемые уравнением (7.43). При это уравнение имеет решения типа простых волн, которые получаются, если считать, что производные являются функциями только При поступая как и выше, мы получим следующее уравнение для квазипростой волны

Это уравнение имеет форму (15.7).

Уравнение КдВ в форме (15.9) удобно для задач с начальными условиями. В этом случае решение однозначно определяется начальным возмущением Чтобы получить аналогичное уравнение для задач с граничными условиями, заметим, что в уравнении для квазипростой волны с точностью до малых членов

второго порядка включительно можно положить

Подставляя это в (15.7) и переходя к новым переменным

получим уравнение КдВ

Решение этого уравнения однозначно определяется граничным условием

Наконец, заметйм, что если диссипацией нельзя пренебрегать и закон дисперсии имеет вид

то вместо (15.9) имеет место уравнение

которое мы будем называть уравнением Кортевега — де Вриза — Бюргерса (оно получается, например, из уравнений (9.12), (9.13) методом, изложенным выше).

Аналогичным образом можно поступать и при других законах затухания. Например, учет затухания Ландау для ионно-звуковых волн в плазме, рассматривавшихся в § 6, приводит в случае малых к дисперсионному уравнению (см., например, [601)

где

определены в (6.9). Соответственно вместо (15.14) получаем

где линейный оператор, определяемый выражением

Используя соотношение

где символ главного значения, нетрудно убедиться, что [61]

Параметр дисперсии в уравнениях (15.9) и (15.14) может иметь оба знака (в отличие от коэффициентов затухания, которые всегда положительны). Поскольку эти уравнения инвариантны относительно замены

то решения уравнений (15.9) и (15.14) при можно получить из соответствующих решений при путем преобразования (15.15). Таким образом, не нарушая общности, мы можем считать параметр положительным, что и будет предполагаться в дальнейшем.

Остановимся теперь на вопросе о стационарных вол описываемых уравнением КдВ (для уравнения (15.14) этот вопрос рассматривается в § 23). Полагая в получим уравнение которое совпадает по форме с уравнением (10.5), описывающим стационарные решения уравнений Буссинеска. Таким образом, стационарные решения уравнения КдВ представляют собой солитоны и периодические волны, подробно рассмотренные в § 10.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление