Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Решение уравнения Бюргерса

Замечательно, что общее решение уравнения Бюргерса можно получить в замкнутом аналитическом виде [48]. Именно, если положить

то для получается уравнение теплопроводности

Отсюда следует, что решение уравнения Бюргерса при начальном условии

имеет вид (14.1), где

Для сходимости интеграла в (14.3) достаточно, чтобы начальное возмущение (14.2) удовлетворяло условию

которое мы будем предполагать в дальнейшем выполненным.

Рассмотрим теперь эволюцию начальных возмущений, затухающих при Будем считать, что

(В остальном профиль начального возмущения может быть произвольным.)

Прежде всего заметим, что при любом

В справедливости соотношения (14.6) проще всего убедиться, если написать уравнение Бюргерса в дивергентной форме

и проинтегрировать обе части его по от до Таким образом, площадь, ограниченная функцией (которая в дальнейшем будет называться главным моментом), не меняется во времени, т. е. является интегралом движения.

При условии (14.5) решение уравнения Бюргерса имеет довольно простую асимптотику при а именно

где

Этот результат интересен тем, что из него следует универсальность асимптотического вида профиля скорости при достаточно больших

Рис. 14.1. Асимптотический вид решения уравнения Бюргерса при начальном условии (14.5) и больших Кривая а изображает решение при конечном кривая в — при

Единственной величиной, зависящей от начального условия в (14.7), (14.8), является главный момент детальный же вид начального условия оказывается несущественным.

Если диссипативный параметр исчезает, то и? (14.7) и (14.8) следует (при

При соответствующее предельное выражение получается из (14.9) преобразованием

Асимптотический вид профиля при больших изображен на рис. 14.1. При он имеет вид треугольника с ударной волной в передней или задней части профиля (в зависимости от знака Величина скачка в ударной волне равна т. е. убывает пропорционально корню из времени; основание профиля, наоборот, растет как так что полная его площадь не изменяется и

равна Эти результаты хорошо Согласукггся с общей теорией нестационарных ударных волн. (Ср. [1], § 95.)

Заметим, наконец, что уравнение Бюргерса имеет также стационарное решение, описывающее волну, перемещающуюся без деформации с постоянной скоростью

Подставляя (14.10) в (13.21) и интересуясь только ограниченными решениями получившегося обыкновенного дифференциального уравнения, будем иметь

где постоянные интегрирования.

Решение (14.11) представляет собой ударную волну с величиной скачка и шириной переходной области

которая обращается в нуль при

Используя общее нестационарное решение (14.1) — (14.3), можно показать, что всякое возмущение, удовлетворяющее при условиям

принимает при достаточно больших стационарный асимптотический вид, определяемый формулами (14.10) — (14.12).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление