Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава IV. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

§ 13. Уравнение Бюргерса

Эта и последующие главы будут посвящены изучению нестационарных нелинейных волн. Мы начнем с рассмотрения слабо диспергирующих сред. Оказывается, что в этом случае можно продвинуться довольно далеко в направлении построения последовательной аналитической теории, описывающей основные качественные, а в ряде случаев и количественные закономерности эволюции нелинейных волн.

Рассмотрим сначала нелинейные волны в газах, описываемые уравнениями Навье — Стокса

(здесь — энтропия единицы массы).

Если в системе уравнений (13.1) пренебречь диссипативными членами, то эта система превратится в уравнения

Эйлера

Важнейшими решениями последних являются так называемые простые волны, которые можно интерпретировать как волны, бегущие в одном направлении (см., например, [1]).

Все величины, описывающие простую волну, представляются в виде функций одной из них. Например, можно считать, что Тогда из уравнений (13.2), (13.3) следует

Подставляя это в уравнение (13.2), получим для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х (в этом случае в (13.5) следует взять плюс),

Чтобы определить функцию с используем уравнение адиабатического процесса

где невозмущенная плотность газа, а скорость звука в линейном приближении. Из (13.5) и (13.7) следует (для волны, распространяющейся в положительном направлении)

Подставляя это в (13.6), приходим к следующему дифференциальному уравнению для простой волны:

Общее решение уравнения (13.6) имеет вид

где произвольная функция, определяемая формой волны при

Если пренебречь зависимостью от скорости течения т. е. положить то (13.10) переходит в решение линеаризованных уравнений Эйлера описывающее распространение волны без изменения ее формы. Рост скорости звука с при увеличении у приводит к укручению профиля волны на участках, где скорость больше. При достаточно больших функция становится неоднозначной. Однако еще до этого момента решение вида (13.10) становится непригодным, поскольку при очень большой крутизне профиля отброшенные диссипативные члены существенны даже при малых диссипативных коэффициентах.

Таким образом, при описании эволюции нелинейных волн в газе при достаточно больших следует исходить из уравнений Навье — Стокса (13.1). К сожалению, исследование нестационарных решений этих уравнений в общем случае сопряжено с большими трудностями. Решения же типа простых волн, где все величины, характеризующие возмущение, могут быть представлены в виде функций одной из них, не удовлетворяют уравнениям (13.1). Однако, как будет показано ниже, при достаточно малых (но конечных) амплитудах и малых диссипативных коэффициентах существуют рещения, которые можно рассматривать как аналог простых волн, бегущих в одну сторону. Такие волны мы будем называть квазипростыми. Основные уравнения для квазипростых волн получаются из (13.1), если ограничиться в последних нелинейными членами второго порядка и считать при этом диссипативные коэффициенты малыми первогр порядка. Соответственно линейные диссипативные члены будут малыми второго порядка, а нелинейными диссипативными членами мы можем пренебречь.

Предположим, что возмущение распространяется вдоль оси х. Тогда первое и третье из уравнений (13.1)

с принятой степенью точности принимают вид

Из (13.12) следует, что изменение энтропии есть величина второго порядка малости.

Уравнение непрерывности удобно переписать в другой форме, выразив возмущения плотности через изменения давления и энтропии и отбросив малые третьего порядка:

где с есть адиабатическая скорость звука, определяемая соотношением (13.4). Используя общие термодинамические соотношения (см., например, [46], § 16), нетрудно убедиться, что

где теплоемкости, отнесенные к единице массы. Подставляя это в (13.13) и учитывая (13.4), получим

Уравнения (13.11), (13.12) и (13.14) составляют полную систему уравнений для одномерного течения с точностью до членов второго порядка включительно.

Чтобы получить дифференциальное уравнение для квазипростой волны, положим

где функции определяются теми же

уравнениями, что и в простой волне, т. е.

Что касается функций то их следует искать в таком виде, чтобы соответствующее решение было как можно ближе к простой волне. Предположим, что эти функции — второго порядка малости. (Из окончательного результата будет видно, что такое решение существует.)

Очевидно, что с точностью до членов второго порядка можно считать, что удовлетворяют линейным уравнениям

Подставляя (13.5) в (13.11) и (13.14) и учитывая (13.17) получим с указанной точностью

(где - равновесная плотность).

Исключая из этих уравнений, приходим к следующему дифференциальному уравнению для квазипростой волны:

где

Уравнение (13.19) отличается от уравнения простой волны правой частью, описывающей диссипативные эффекты.

Линеаризованное уравнение

описывает эволюцию слабо затухающей звуковой волны в линейном приближении. Ему удовлетворяют решения вида

отвечающие дисперсионному уравнению

Отметим, что соотношения (13.20) и (13.22) совпадают с известными формулами акустики, определяющими закон затухания звука в линейном приближении (см., например, 111, § 77).

Из результатов следующего параграфа будет видно, что уравнение (13.19) хорошо описывает и нелинейные эффекты, в частности формирование и эволюцию ударных волн.

Заметим, наконец, что если перейти к системе отсчета, движущейся со скоростью относительно среды, и ввести новый масштаб для возмущений скорости частиц, т. е. положить

то уравнение (13.19) принимает еще более простую форму:

Это уравнение впервые рассматривалось Бюргерсом [47] и носит его имя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление