Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Другие примеры стационарных волн. Нелинейные дисперсионные уравнения

В отличие от монохроматических волн, являющихся стационарными решениями линеаризованных уравнений, скорость нелинейных стационарных волн зависит не только от их длины, но и от амплитуды, а также от некоторых других параметров, например от средних значений колеблющихся величин. Так, например, для периодических стационарных волн, рассматривавшихся в § 10, скорость волны в пределе малых, но конечных амплитуд содержит член, пропорциональный (см. (10.17)). Зависимость частоты или скорости стационарной волны от волнового числа, амплитуды и других

параметров мы будем называть нелинейным дисперсионным уравнением

В дополнение к волнам, исследовавшимся в предыдущем параграфе, рассмотрим здесь еще несколько типичных примеров нелинейных стационарных волн и определим их дисперсионные уравнения.

Гравитационные волны в глубокой воде. Основные уравнения имеют вид (4.1) — (4.6); вместо (4.7) здесь достаточно потребовать, чтобы было ограниченным при всех

Для стационарной волны можно считать, что

где скорость волны. Подставляя (12.1), (12.2) в (4.5) и (4.6), получим следующие уравнения:

Кроме этого, удовлетворяет еще линейному уравнению Лапласа (4.3). Можно показать, что эти два уравнения не имеют решения в виде уединенных волн. Периодическое решение с длиной волны к можно искать в виде ряда Фурье по где а коэффициенты этого ряда как функции определить из уравнения (4.3) и условия ограниченности при При этом получается выражение вида

где коэффициенты с, и т. д., а также функции могут быть определены из (12.4) методом последовательных приближений. В первом (линейном) приближении получаем для формы свободной поверхности волны выражение

Подставляя (12.5) в (12.4) и удерживая члены до третьего порядка включительно, получим, приравняв

члены при одинаковых гармониках,

где амплитуда колебаний свободной поверхности жидкости.

Можно показать, что при увеличении амплитуды волна стремится к некоторому предельному виду с заострениями на гребнях, причем углы при заострениях равны а скорости частиц на гребнях совпадают со скоростью волны (подробнее об этом см. в [44], § 250).

Электромагнитные волны в нелинейных диэлектриках. Пусть сначала нелинейность определяется выражением (8.5). Это выражение по своему смыслу применимо лишь для высокочастотных волн, которые можно представить в виде (8.4).

Поэтому стационарные волны, удовлетворяющие уравнениям (8.3), (8.5), как нетрудно убедиться, следует искать в виде

где амплитуды и (после соответствующей перенормировки частоты) можно считать постоянными. Такие решения уже обсуждались в § 8. Нелинейное дисперсионное уравнение для них имеет вид (8.10).

В качестве примера, иллюстрирующего другие возможности, рассмотрим модель нелинейного диэлектрика, состоящего из ангармонических осцилляторов с одной и той же собственной частотой.

Уравнение, определяющее зависимости поляризации среды от напряженности поля будет иметь вид

где а., постоянные (такая модель обсуждалась

в работе [45]). Уравнения Максвелла (8.1) приводятся в рассматриваемом случае к уравнению

которое вместе с (12.8) образует замкнутую систему.

Рассмотрим теперь стационарные решения этой системы, считая, что и являются функциями только от или, что все равно, от фазы Последнюю мы нормируем условием

Система (12.8), (12.9) после простых вычислений приводится к виду

Если пренебречь нелинейным членом в (12.11), то соотношения периодичности (12.10) будут выполняться только при условии обращения коэффициента при в единицу. Получающееся при этом соотношение дает линейный закон дисперсии

где

есть линейная диэлектрическая проницаемость в рассматриваемой модели.

В общем случае финитные решения уравнения (12.11) могут быть представлены в виде

где эллиптический синус с модулем

Поскольку функция имеет период полный эллиптический интеграл первого рода), то условие периодичности (12.10) принимает вид

Это соотношение совместно с (12.16), (12.17) дает нелинейное дисперсионное уравнение, определяющее зависимость между и амплитудой колебаний

Рис. 12.1. График зависимости (12.19).

Используя (12.16), уравнение (12.18) можно представить в виде

Графическое изображение зависимости между определяемой соотношением (12.19), приведено на рис. 12.1.

При

из выражения (12.15) следует

Чтобы получить нелинейное дисперсионное уравнение

В этом случае, разлагаем в степенной ряд в соотношении (12.18) и используем (12.16). В результате имеем

В другом предельном случае

величина близка к единице (как видно, например, из рис. 12.1). Тогда из (12.16), (12.17) следует

где скорость распространения волны. Чтобы получить асимптотическую форму волны в этом предельном случае, используем соотношение [33]

Тогда из (12.15), (12.16) и (12.24) следует

Соотношение (12.25) дает представление о форме волны на участке длина волны); при этом условие (12.23) эквивалентно соотношению

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление