Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Стационарные волны, распространяющиеся поперек магнитного поля в разреженной плазме [34—37, 3]

Будем исходить из основных уравнений § 7 в лагранжевых переменных (7.36) — (7.38). Полагая в них и интегрируя два раза, получим

Здесь — постоянная интегрирования, имеющая смысл магнитного поля в невозмущенной плазме (где плотность равна невозмущенному значению магнитное число Маха

Уравнение (11.1) имеет наглядную механическую интерпретацию: оно описывает движение частицы (роль координаты играет а времени — находящейся в силовом поле с потенциальной энергией

«Интеграл энергии» уравнения (11.1) имеет вид

Фазовые кривые этого уравнения изображены на рис. 11.1. Точки «равновесия», являющиеся корнями уравнения определяются выражениями В случае точка будет седловой, а фокусами, при этом При седло находится в точке Ни причем

Из всех кривых, изображенных на рис. 11.1, реализуются только траектории, лежащие справа от седловой

точки. Действительно, для остальных решений величина в (11.2), являющаяся по своему смыслу положительной, принимает отрицательные значения (в этом нетрудно убедиться, подставляя в (11.2). При этом сепаратрисы изображают солитоны, а остальные кривые — периодические волны.

Рассмотрим подробнее решение уравнения (11.5), описывающее солитон с предельными значениями магнитного поля при (в этом случае

Рис. 11.1. Фазовые кривые для уравнения (11.5) (ср. с рис. 10.3).

Обозначая максимальную величину поля в солитоне через Нтах и полагая в получаем соотношение между числом Маха и амплитудой солитона

Из (11.2) и (11-6) вытекает, что в вершине солитона величина принимает минимальное значение Из условия получаем следующие ограничения на скорость и амплитуду солитона:

При плотность плазмы на гребне волны обратилась бы в бесконечность. Таким образом, уединенные волны, распространяющиеся поперек магнитного поля в холодной плазме, имеют предельное значение числа Маха и соответственно амплитуды.

Существование предельного числа Маха для стационарных волн означает, что при достаточно больших

амплитудах дисперсионные эффекты не могут «уравновесить» нелинейное укручение профиля волны, что приводит к ее опрокидыванию.

В случае чисел Маха, достаточно близких к единице, интегрирование общего уравнения (11.5) приводит к простым аналитическим выражениям, которые совпадают с формулами для стационарных решений уравнений Буссинеска, рассмотренных в предыдущем параграфе (с учетом того, что играет роль обобщенной плотности Это естественно, поскольку, как мы видели в § 7, волны достаточно малой амплитуды, распространяющиеся поперек магнитного поля, описываются уравнениями Буссинеска с показателем адиабаты

Аналогичным образом могут быть рассмотрены стационарные волны, распространяющиеся под углом [38—40] и вдоль [41—43] магнитного поля. При этом оказывается, что в случае косых магнитозвуковых волн солитоны могут быть отрицательными. Это обстоятельство связано с тем, что, согласно формуле (7.20), параметр дисперсии таких волн становится отрицательным при (a - угол между направлением распространения и магнитным полем), что, как мы видели в § 10, приводит к изменению знака солитона (см. рис. 10.4).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление