Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава III. НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ

§ 10. Стационарные решения уравнений Буссинеска

Уравнения линейного приближения (без диссипативных членов), рассматривавшиеся в гл. I, всегда имеют решения в виде так называемых стационарных волн, распространяющихся с постоянной скоростью без деформации профиля. Все величины, описывающие такую волну, зависят только от координата в направлении распространения,

Нелинейные коэффициенты приводят, вообще говоря, к искажению профиля волны. В газодинамике, например, благодаря нелинейным эффектам крутизна профиля увеличивается до тех пор, пока не станут существенными диссипативные эффекты. Последние приводят к некоторому расплыванию профиля и в конечном итоге уравновешивают его нелинейное укручение.

Благодаря этому уравнения Навье — Стокса, в отличие от уравнений Эйлера, имеют непрерывные стационарные решения, где все величины зависят только от Эти решения описывают стационарные ударные волны. Для сред без диссипации, но с дисперсией ситуация в известной мере аналогична, так как зависимость фазовой скорости возмущений от длины волны также приводит к расплыванию профиля, которое может компенсировать нелинейное укручение. Таким образом, в диспергирующих средах возможно распространение нелинейных стационарных волн. Структура таких волн при отсутствии диссипативных эффектов, однако, существенно отличается от ударных, поскольку дисперсия в этом случае не приводит к каким-либо необратимым процессам. Благодаря этому нелинейные стационарные волны в случае «действительной» дисперсии могут быть либо периодическими, либо уединенными.

В качестве типичного примера рассмотрим нелинейные стационарные решения уравнений Буссинеска,

описывающих, как мы видели в предыдущей главе, нелинейные волны в ряде диспергирующих сред — плазме, на поверхности жидкости небольшой глубины и др. Резюмируя рассмотренные в §§ 5—7 примеры, запишем эти уравнения в виде

где обобщенная «плотность» (для волн на поверхности жидкости это глубина, для ионно-звуковых волн в плазме без магнитного поля — обычная плотность, для волн, распространяющихся поперек магнитного поля в разреженной плазме, — напряженность магнитного поля), обобщенная скорость «звука» при плотности в пренебрежении дисперсией. Величина параметр дисперсии; закон дисперсии для достаточно длинных волн малой амплитуды, следующий из (10.1), имеет вид

Величины Со и определяются в упомянутых выше случаях формулами (5.2) и (5.31), (6.9) и (7.20).

В рассмотренных в главе II случаях зависимость определялась «адиабатической» формулой Пуассона

где невозмущенная «плотность», а у — эффективный показатель «адиабаты». Формула (10.3) будет предполагаться справедливой и в дальнейшем.

Если теперь ввести в уравнения (10.1) потенциал скорости и исключить из них плотность (это можно сделать, ограничиваясь только членами второго порядка малости, поскольку сами уравнения Буссинеска были получены с этой степенью точности), то получается следующее уравнение для потенциала:

Рассмотрим теперь стационарные решения этого уравнения. Полагая получим

Скорость стационарных волн должна быть достаточно близкой к если их амплитуда мала (проще всего в этом убедиться, рассматривая выражения для скорости V, полученные ниже). Поэтому величину можно рассматривать как малую первого порядка. Ограничиваясь членами второго порядка малости и вводя новую независимую переменную

получим окончательно

Для дальнейшего полезно иметь в виду, что уравнение (10.5) инвариантно относительно преобразования

которое означает просто переход к новой системе отсчета.

Интегрируя уравнение (10.5) два раза, мы можем привести его к форме

где — постоянные, являющиеся некоторыми комбинациями скорости V и двух констант интегрирования. При этом связь между скоростью имеет вид

Рассмотрим сначала случай, когда Из условия ограниченности решения следует, что все - должны быть вещественными (так что можно считать причем

Если то решение уравнения (10.7) имеет вид уединенной волны (рис. 10.1), или, как мы будем говорить в дальнейшем, «солитона»:

с амплитудой шириной порядка (т. е. обратно пропорциональной корню из амплитуды) и

скоростью

Величина определяет величину поля при (согласно (10.6) всегда можно перейти к такой системе отсчета, где

Рис. 10.1. Форма солитона при

При решение уравнения (10.7) представляет собой периодическую волну и описывается выражением

эллиптическая функция Якоби с модулем эллиптический синус),

Величина при этом является амплитудой волны. Поскольку функция имеет период, равный где полный эллиптический интеграл первого рода, то длина волны периодического решения (10.11) определяется соотношением

а среднее значение и скорость выражаются следующим образом:

полный эллиптический интеграл второго рода).

Параметр может служить мерой нелинейности волны. эллиптические функции близки

к тригонометрическим. Поэтому при выражение (10.11) переходит в решение линеаризованных уравнений.

Из разложения

следует, что при периодическое решение (10.11) принимает вид

где среднее значение, амплитуда, определенная в (10.12), волновое число, связь которого с параметром определяется соотношением (10.13) и при имеет вид

Выражение для V при следует из (10.14), (10.16):

При члены, не зависящие от амплитуды, приводят к выражению для фазовой скорости волны в линейном приближении (ср. с формулой (3.1)).

В другом предельном случае, когда имеют место соотношения [331

Тогда из (10.13) следует, что длина волны стремится к бесконечности, а формула (10.11) переходит в (10.9).

Рис. 10.2. Периодическая волна при значениях параметра близких к единице.

Таким образом, при периодическая волна асимптотически приближается к последовательности солитонов (рис. 10.2) с амплитудами (относительно уровня

Рис. 10.3. Фазовые кривые для уравнения (10.7). Сепаратриса 1 отвечает солитону, а замкнутые кривые, расположенные внутри сепаратрисы — периодическим волнам.

Расстояние между ними по порядку величины определяется формулой

Скорость распространения солитона всегда больше Для периодических волн малой амплитуды

Укажем, наконец, что на фазовой плоскости интегральные кривые уравнения (10.7) имеют вид, изображенный на рис. 10.3. Точка О является седлом, А — центром. Фазовая кривая, отвечающая солитону, имеет вид изображает амплитуду солитона), а периодическим волнам соответствуют кривые по мере уменьшения амплитуды они приближаются к центру.

Рис. 10.4. Форма солитона

Все сказанное выше относилось к случаю, когда параметр дисперсии положителен. При в специальном исследовании нет необходимости; если в уравнении (10.5) положить

то оно перейдет в такое же уравнение, но с величиной противоположного знака. Поэтому все формулы для отрицательных получаются из приведенных выше, если там сделать замену (10.20). В частности, вместо положительных солитонов (рис. 10.1) в этом случае будут отрицательные солитоны (рис. 10.4). При этом их скорость меньше в то время как для периодических волн

Изложенная теория относилась к стационарным волнам небольшой амплитуды, когда можно ограничиться нелинейными членами второго порядка. Исследование волн большой амплитуды показывает, что общая качественная картина, рассмотренная выше, сохраняется и в этом случае. Новым важным эффектом, который нельзя получить, ограничиваясь членами второго порядка, является существование в ряде случаев критической амплитуды, выше которой волна не может оставаться стационарной. В следующем параграфе мы рассмотрим этот эффект на примере волн в разреженной плазме, распространяющихся поперек магнитного поля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление