Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Звуковые волны с дисперсией

Одной из наиболее распространенных причин дисперсии звука в газах и жидкостях являются релаксационные процессы, возникающие в волне при отклонениях от термодинамического равновесия [30]. В качестве примеров таких процессов можно привести перераспределение энергии между различными степенями свободы частиц среды, процессы диссоциации и рекомбинации, химические реакции и

Отвлекаясь от диссипации, не связанной с релаксационными процессами, мы можем принять в качестве исходных уравнения гидродинамики

которые должны быть дополнены выражением, определяющим вариацию давления.

При отсутствии релаксационных процессов малое изменение давления определяется соотношением

где скорость звука при отсутствии диссипации

(S - энтропия).

Если при изменениях плотности протекает релаксационный процесс, то связь между становится уже нелокальной во времени, так как следует учитывать зависимость от вариаций плотности в предыдущие моменты времени. Это может быть описано соотношением

где функция, определяющая релаксационный процесс. Для удобства мы ввели некоторое эффективное время релаксации, определяющее область значений где запаздывание существенно (т. е. быстро исчезает при Для определенности нормируем функцию следующим условием:

Для выяснения физического смысла коэффициентов применим (9.4) к двум предельным случаям: большой и малой частоты звуковой волны. В первом случае интегральный член исчезает и получается так что величина а имеет смысл квадрата

Скорости высокочастотного «звука»

В противоположном предельном случае из-под знака интеграла можно вынести медленно меняющуюся величину Учитывая при этом (9.5), получаем т. е.

Очевидно, что скорость низкочастотного «звука» совпадает с величиной определенной в (9.3). Итак, вместо (9.4) можно написать

где разумеется, зависят от равновесных значений термодинамических величин (например, от и 5). При этом всегда

Это соотношение является следствием принципа Шателье (см. [1], § 78).

Переходя в (9.6) к компонентам Фурье, получаем

Из (9.8) следует выражение для комплексной «скорости звука» при частоте со:

Формула (9.10) полностью определяет дисперсию и диссипацию «звука», обусловленные данным релаксационным процессом. Из нее, в частности, вытекает связь

между действительной и мнимой частями величины аналогичная дисперсионным соотношениям Крамерса — Кронига для диэлектрической проницаемости [28], поскольку функция согласно формуле (9.9), является аналитической в верхней полуплоскости. Далее, рассуждая так же, как и в [28] (§ 62), можно убедиться, что не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полуплоскости, за исключением точек мнимой оси; на последней монотонно убывает от значения до Учитывая (9.7), заключаем отсюда, что на мнимой оси величина монотонно возрастает от до Таким образом, в верхней полуплоскости и, следовательно, дисперсионные соотношения можно написать не только для но и для а также для величины

Рассмотрим теперь подробнее случай, когда время релаксации достаточно мало по сравнению с характерным периодом волны. Тогда величину в формуле (9.4) можно разложить по степеням Ограничиваясь двумя членами разложения, получаем

Предполагая, что величины являются достаточно малыми, мы можем с точностью до членов высшего порядка малости заменить на (поскольку в первом приближении удовлетворяет волновому уравнению на (согласно уравнению непрерывности). Подставляя это в (9.11) и используя (9.1), получаем с принятой степенью точности

где величины определяются выражениями

Сравнивая (9.12) с уравнением Навье — Стокса

где коэффициенты первой и второй вязкости соответственно, мы видим, что величина в уравнении (9.12) имеет смысл коэффициента второй вязкости, обусловленной релаксационным процессом. Что касается члена с третьими производными в уравнении (9.12), то он, как видно из следующего ниже уравнения (9.17), определяет дисперсионную поправку к вещественной части частоты звука (в связи с этим обратим внимание на то, что по форме он совпадает с дисперсионным членом в уравнениях Буссинеска (6.12), (5.23)).

Линеаризуя уравнения (9.12), (9.13), получаем закон дисперсии для звука в следующем виде:

где величина

есть коэффициент релаксационного затухания звука, параметр «вещественной» дисперсии, определенный формулой (9.15).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление