Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.7. Системы с медленными и быстрыми переменными без частотных резонансов

Пусть дана -мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений

где -мерные векторы, -мерные векторы, Векторы определены в некоторой -мерной области

Система (63) называется мпогочастотной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными. Вектор х называется вектором медленных переменных, у — вектором быстрых переменных, — вектором частот.

Для сглаживапия системы (63) чаще всего используются операторы сглаживания, описанные в § 1.4. Они строятся следующим образом.

При система (63) переходит в порождающую:

Допустим, что ее общее решение известно:

где — произвольные постоянные. Вычислим теперь интегральное среднее функций вдоль порождающего решения

и напишем, следуя В. М. Волосову и Б. И. Моргунову (см. [20, 23]), усредненную систему нервого приближения:

Написание системы (65) неявно предполагает после усреднения замену вектора с на искомый усредненный вектор х, что является, вообще говоря, необоснованной операцией. Тем не мепее для системы (63) и системы сравнения (65) В. М. Колосовым [20] разработана эффективная схема сглаживания правых частей с применением оператора усреднения вдоль

дающего решения и рассмотрены вопросы обоснования метода усреднения для многочастотных систем с медленными и быстрыми неременными без резонансов. Можно сказать, что в работах В. М. Волосова неявно предполагается отсутствие соотношений вида в пространстве перемеппых которые представляют собой основную характеристику резонанстных систем (точнее, систем с резопапсами основных частот), рассматриваемых в следующих главах.

Учитывая это, введем вместо х, у новые переменные по формулам

Переменные можно интерпретировать как отклонения х, у от порождающего решения (65). Многочастотпая система

эквивалентна первоначальной системе (63), поэтому ниже будем излагать асимнтотическую теорию для системы (67).

Определим теперь функции сравнения для по формулам

означающим результат усредпеиия при постоянных возмущениях. Тогда система сравнепия для (67) запишется следующим образом:

Из (69) видно, что подсистема для медленных перемеппых является автономной, хотя в целом система (69) зависит явно от времени.

Систему (69) можно назвать по апалогии с (38) усредненной системой первого приближения, хотя, согласно методу

Крылова — Боголюбова, чаще всего этот термин применяется к системе

Наряду с системами первого приближения (69) или (70) рассмотрим системы сравнения более общего вида:

которые играют роль основных уравнений при построении асимптотической теории Крылова — Боголюбова любого конечного приближения для систем с медленными и быстрыми переменными.

Следуя общей идее метода Крылова — Боголюбова, будем искать замену переменных

которая преобразовывает систему (67) в любую из систем сравнения (69) — (72). Например для преобразования (67)-(69) мы получаем следующую систему квазилинейных уравнений в частных производных для неизвестных вектор-функций

Система (74) представляет собой векторное уравнение Крылова — Боголюбова для преобразования систем с медленными и быстрыми переменными (63) в уравнения сравпения первого приближения (69). Аналогичный вид имеют уравнения в частных производных, определяющие и у для преобразований Для преобразования уравнение Крылова — Боголюбова имеет в точности вид (74) с той лишь разницей, что в функциях следует положить

Для преобразования система уравнений Крылова — Боголюбова имеет вид

Чтобы получить уравнение Крылова — Боголюбова для преобразования необходимо заменить в уравнениях (75) функции на функции соответственно.

Нахождение функций преобразования из уравнений Крылова — Боголюбова (74), (75) в аналитической. форме в общем случае не представляется возможным, однако есть такие интересные для приложений случаи, когда это возможно сделать. О них будет рассказано ниже, а здесь мы приведем формулировку теоремы Волосова [20], устанавливающую -близость медленных переменных многочастотных уравнений вида (63) и медленных переменных, определяемых усредненными уравнениями первого приближения (65), на асимптотически, большом промежутке времени.

Теорема 1.3 (В. М. Волосов). Пусты

1) вектор-функции определены и непрерывны в открытой -мерной области при

2) X, Y равномерно ограничены в и непрерывны по равномерно относительно всех переменных;

3) вектор-функция непрерывна по переменным и удовлетворяет по условию Липшица с общей для всей области постоянной, а по переменным у имеет непрерывные ограниченные частные производные

4) вектор-функция удовлетворяет по условию Липшица, имеет производную непрерывную по равномерно относительно всех переменных, а функция непрерывна по удовлетворяет по условию Липшица с общей для области постоянной и имеет непрерывные, равномерно ограниченные в частные производные по у;

5) интегральные средние функций вдоль порождающего решения существуют равномерно относительно всей совокупности начальных условий из в смысле определения из § 1.5;

6) решение системы (65) при не выходит из

Тогда для произвольных чисел существует такое, что при для всех выполняется -оценка для нормы

где - вектор медленных переменных, определяемых первоначальной системой (63), -вектор медленных переменных, определяемых первой подсистемой (65).

Основываясь на этой теореме, В. М. Волосов и его ученики (Б. И. Моргунов, Г. Н. Медведев, Ф. Л. Чериоусько и др.) разработали методы расчета стационарных колебательных режимов большого числа нелинейных систем и изучили их устойчивость [47-49].

Аналогичные теоремы обоснования метода усреднения, устанавливающие -малость нормы получены и для случая, когда сглаженный вектор является решением усредненного уравнения 2-го приближения [50, 51]

В заключение заметим, что -близость возмущений определяемых уравнениями (67) и (70), на асимптотически большом интервале времени также имеет место. Что касается -близости быстрых переменных или то вопрос остается открытым.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление