Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.6. О структуре асимптотических разложений

В § 1.5 написаны два уравнения сравнения первого приближения для стандартной системы (36). Это уравнения (39) и (38):

Если не зависит от малого параметра то, как видно из выражения для формального ряда, составляющего замену переменных, он представляет собой обычный степенной ряд по степеням Иначе обстоит дело в том случае, когда функция Чтобы избежать путаницы, обозначим именно этот малый параметр символом т. е. рассмотрим уравнспие

лместо (36). В этом случае вместо замены переменных (45) следует искать замену, прообразующую уравнение (57) в уравнение сравнепия (38) или (39), в виде

Функции преобразования явно зависят от малого параметра Действительно, если замена (58) преобразует (57) в (38), то функция определяется из уравпепия

из которого видна явная зависимость от

Для уравнения сравнения (39) будем иметь

и явная зависимость от параметра также усматривается. Можно показать, что уравнения для также содержат зависимость от параметра поэтому указапные функции также зависят от

Изложенные соображения указывают на то, что замепа (58) в общем случае не является обычным степенпым рядом по степеням малого параметра так как функции зависят от параметра равпого на самом деле величине

Если рассматривать замену переменных (58) как формальное решение обыкновенных дифференциальных уравнений теории возмущепий, то целесообразно говорить о том, что выражение

дает приближенное асимптотическое решение теории возмущений порядка в смысле Крылова — Боголюбова.

Действительно, если ряд (58) является асимптотическим, то можно выписать для решения первоначального уравнения асимптотическое разложение

которое можпо рассматривать как приближенпое решение уравнения (57) с погрешностью Отсюда следует, что теория возмущений, основанная на методе Крылова — Боголюбова, не совпадает с классической теорией возмущений, где строятся стандартные разложения по степеням малого параметра.

Теория возмущений порядка в смысле Крылова — Боголюбова содержит возмущения любого порядка (не только до найденные классическими методами теории возмущений. Если вектор-функция является аналитической относительно то в этом случае можно ожидать, что функции также окажутся аналитическими относительно где существование величины гарантируется теоремой Коши о существовании аналитического решения. Но при этих условиях функции могут быть представлены в виде рядов по степеням подставляя их в формулу для замены перемепных (58), можпо «перестроить» полученные разложения в классические разложения теории возмущений но степеням малого параметра

Таким образом, в общем случае представление (58) не является классическим степенным рядом но степеням Метод Крылова — Боголюбова предоставляет математику возможность построить теорию возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью неклассических асимптотических представлений (61), (62).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление