Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.5. Стандартные системы

В предыдущих параграфах приведены определения некоторых операторов сглаживания применительно к функциям многих переменных. Переходим теперь к построению уравнений сравнения для различных классов дифференциальных уравпений, описывающих периодические, почти периодические и вообще колебательные процессы. В историческом аспекте, как мы говорили выше, методы усреднения нашли сначала применение в задачах небесной механики при построении аналитических теорий движения планет солнечной системы, однако строгое обоснование их применимости в небесной механике стало возможным лишь в последние десятилетия. Поэтому мы рассмотрим в первую очередь так называемые стандартные системы обыкновенных дифференциальных уравнений в смысле Боголюбова, так как именно для таких уравнений . Боголюбов (см. [25-28]) разработал строгую и полную математическую теорию обоснования применимости операторов сглаживания и получил оценки для норм отклонения решений первоначальных уравнений от решений уравнений сравнения.

Система

где точки -мерного евклидова пространства, называется стандартной в смысле Боголюбова системой обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [17]).

Пусть функция сравнения определяется формулой (11)

Тогда уравнение сравнения для (36) является автопомным и имеет вид

Уравнение

позывается уравнением сравнения первого приближения для (36), или усредненным уравнением первого приближения.

Уравнение сравнения (38) также может быть названо уравнением сравнения первого приближения. Различие между (38) и (39), как мы увидим ниже, состоит в том, что они порождают различные асимптотические разложения для решения первоначального уравнения.

Замена переменных, преобразующая (36) в (38), ищется в виде

Хронологически пмеппо опа получила в математической литературе название «замена (преобразование) Крылова-Боголюбова».

Уравнение, определяющее вектор-функцию можно назвать уравнением Крылова — Боголюбова для стандартных систем. Оно имеет вид

Асимптотическая теория дифференциальных уравнений, основанная на методе усреднения по времени, начала развиваться в работах . Боголюбова именно с рассмотрения стандартных систем.

Рассмотрим простейший случай, когда вектор-функция -периодична но для всех и дифференцируема по Тогда

и уравнение Крылова — Боголюбова для этого случая записывается в виде

Нахождение вектор-функции из (44) в аналитическом виде представляется в общем случае невозможным, но если является аналитической фупкцией относительно в области то с помощью асимптотических рядов возможно построить формальное представление для

Будем искать замену неременных (3) в виде

Тогда вместо квазилипейпого уравнения Крылова — Боголюбова

(41) получим бесконечную систему линейных уравнений в частных производных вида

которая интегрируется непосредственно. Действительно, последовательно выполняя необходимые выкладки, получим

Алгоритм написания в явном виде уравнений (46) и их решений (47), (48) основан на построении степенных разложений по малому параметру Таким образом, все слагаемые ряда (45) могут быть выиисапы в явном виде. Чтобы замена (45) представляла формальное решение первоначальной стандартной системы (36), необходимо проинтегрировать усредненную систему

подставить ее решение в равенство (45) и согласовать начальные условия, т. е. подобрать произвольные функции таким образом, чтобы выполнялось равенство

Векторное равенство (50) содержит бесконечное число произвольных величин вида поэтому выбор вектор-функций (за исключением одной из них) мржно осуществить различными способами. Как видим, асимптотическое представление (45) не только осуществляет преобразование стандартных уравнений в уравнения сравнения, но и

может быть использовано для написания приближенного решения начальных уравнений с асимптотикой типа если мы ограничимся в степенных разложениях членами порядка

Таким образом, замена переменных Крылова — Боголюбова (45) может быть интерпретирована как формула для асимптотической теории возмущений применительно к стандартным системам вида (36).

Изложенная методика обладает одной особенностью. Выражения для функций преобразования содержат много «нежелательных» вековых слагаемых типа Их количество можно уменьшить, если в качестве системы сравнения вместо (49) взять систему

где пока неизвестные функции. Тогда вместо бесконечной системы (46) будем иметь систему

в которую входят неизвестные функции Они могут быть определены различными способами, но наиболее подходящим следует считать такой, при котором средние значения по правых частей уравнений (52) равны нулю, т. е.

Такой способ определения позволяет уничтожить некоторые вековые члены вида в выражениях для

Следует подчеркпуть, что в процессе вычисления интегралов считается параметром, а не функцией

Развитие и применение аналитического аппарата для построения замен переменных (40) и (45) в прикладных задачах становятся эффективными и математически обоснованными, если удается получить оценки для нормы где решение первоначальной стандартной вистемы (36), —решение усредненной системы первого приближения (39) или усредненной системы любого конечного приближения

Классическая теорема, устанавливающая -оценку для пормы принадлежит . Боголюбову [29].

Теорема 1.2 (Н. Н. Боголюбов). Пусть:

1) вектор-функция определена в открытой связной области ограничена в и удовлетворяет относительно условию Липшица;

2) существует равномерное относительно интегральное среднее, определяемое оператором (И);

3) усредненная система первого приближения (39) имеет решение определенное для , и лежащее в вместе с некоторой -окрестностью.

Тогда для любых сколь угодно малого и сколь угодно большого существует такое, что для всех интервала и для всех из интервала справедлива оценка

Следует подчеркнуть, что равномерное среднее значение некоторой функции понимается в смысле следующего определения: вектор-функция называется равномерным средним значением относительно для вектор-функции в области если для любого существует такая не зависящая от величина что при любом неравенство

выполняется для всех

Теорема Боголюбова послужила отправной точкой для многочисленных научных исследований по асимптотической теории дифференциальных уравпений, теории нелинейных колебаний, нелинейной механике [20, 23, 30—45].

Рассмотрим теперь функцию определенную интегральным соотношением

Назовем число показателем усреднения функции если предыдущий предел конечен. Если этот предел существует равномерно относительно тогда назовем равномерным показателем усреднения функции Если функция имеет хотя бы один показатель усреднения, то она имеет континуум показателей, заполняющих интервал Существуют функции, не имеющие ни одного показателя усреднения, например функция Вопрос о связи показателя усреднения и -близости решений систем и (39) обсуждается в работе [46].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление