Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.4. Оператор усреднения при постоянных возмущениях

Операторам сглаживания (11), (12), (14) характерен общий недостаток: в процессе интегрирования вовсе не учитывается зависимость неременной от времени т. е. никак не учитываются свойства дифференциального уравнения (1). Поэтому правомерной является постановка задачи о конструировании таких операторов усредпения, которые каким-то образом учитывали бы частично информацию о динамических свойствах решений. Построим два таких оператора.

Додставим в первоначальное дифференциальное уравнение Получим дифференциальное уравнение

названное Пуанкаре ([12], см. также [21]) порождающим уравнением для (1). Принято также называть уравнепие вырожденным уравнением.

Предположим, что известно общео решение порождающего уравнения (26)

где С есть -мерный вектор произвольных постоянных. Заменяя в функции переменную на функцию мы получаем новую функцию зависящую от параметров и от времени

К функции можно применить оператор усредпения определяемый равенством (И):

Такая процедура усредпения впервые была применена астрономами при создании теории движения планет [8, 22]. В математической литературе она получила название усреднение вдоль порождающего решения [20]. Хотя такой оператор усреднепия выглядит как будто более предпочтительным по сравнению с оператором (11) (в последнем векторная переменная в процессе интегрирования считается постоянным параметром), само уравнение сравнения, построенное с помощью (29), принимает вид

В уравнении (30) в пеявной форме подразумевается [20], что вектор С после выполнения процедуры усреднепия выражается, вообще говоря, через Если при решении порождающего уравнения (26) в качестве вектора С выбирается начальный вектор

?", то в таком случае некоторые авторы (см., например, [20, 23]) рекомендуют вектор С заменить на в уравнении сравнения. Нельзя считать такую процедуру обоснованной, во ясно, что в противном случае, т. е. если в (30) положить уравнение сравнения (30) сразу же может быть проинтегрировано, и тогда

Таким образом, оператор усредпеиия вдодь порождающего решения при строгом его применении дает, вообще говоря, худший результат даже по сравнению с оператором (11). Ведь трудно ожидать, чтобы решение первоначального уравнения (1) общего вида представлялось липейной функцией времени. Отсюда вытекает, что решения могут сильно различаться. Чтобы в некоторой степени устранить этот недостаток, был предложен другой оператор усредпеиия [8, 24], который может быть назван оператором усреднения при постоянных возмущениях.

Введем вместо искомой функции определяемой первоначальным уравнением (1), новую переменную (возмущение) по формуле

где общее решение порождающего уравнепия. Тогда для вектор-функции легко можно получить дифференциальное уравпепие

эквивалентное первоначальному уравнепшо. Применим к правой части (32) процедуру усреднения по времепи считая в процессе интегрирования постоянными:

Этот оператор назовем оператором усреднения при постоянных возмущениях [17].

Таким образом, уравнение сравнения для принимает вид

Если теперь написать уравнение сравпеиия для (1), построенное с помощью оператора усреднения при постоянных возмущениях, то будем иметь

Замечание 1. Алгоритм построения оператора усреднения при постоянных возмущениях обладает тем свойством, что правые части уравнений сравнения (34) и (35) автоматически

содержат искомые функции и и по этой причине не возникает та неопределенная ситуация, которая имеет место при использовании оператора усреднения вдоль порождающего решения в форме (29).

Замечание 2. Описанные операторы усреднения могут применяться и в предположении, что известно не общее, а некоторое частное решение порождающего уравнения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление