Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.14. Метод ускоренной сходимости

Всякий сходящийся ряд является асимптотическим в смысле определения Пуанкаре [12] (но не наоборот), поэтому теория гамильтоновых систем, в которой используются сходящиеся ряды, с полным правом может быть отнесена и к асимптотической теории. Здесь будут изложены новые идеи и новые результаты, связанные с использованием сходящихся рядов.

Вернемся снова к гамильтоновой системе порядка

с автономным гамильтонианом вида

где невозмущенная часть гамильтониана, его относительно малая возмущенная часть малый положительный параметр). Если обобщенные импульсы х являются позиционными неременпыми, а обобщенные координаты у — угловыми переменными и гамильтониан -периодичен по у в области

фиксированные числа), то при известных условиях [5, 6] возмущенная часть гамильтониана разлагается в -кратный ряд Фурье

Ставится задача о нахождении точных (а не приближенных) решений гамильтоновой системы (1) в виде условно-периодических функций времени при вещественных начальных значепиях

Под условно-периодическим решепием системы (1) понимается такое решение, в котором позиционные переменные выражаются чисто тригонометрическими рядами вида

а угловые переменные у имеют вид

причем компоненты вектора частот являются рационально несоизмеримыми, постоянные величины, зависящие от начальных условий и параметров системы.

Методы построения формальных решений вида (222), (223) гамильтоновой системы (1) известны уже давно, однако вопрос о сходимости этих рядов в строгом математическом смысле оставался открытым. Исследования Пуанкаре [12] и более поздних математиков [112, 185, 186] показали, что ряды вида (222), вообще говоря, расходятся из-за наличия в коэффициентах малых знаменателей вида

Таким образом, для доказательства существования точных решений гамильтоновых систем в виде условно-периодических функций времени необходимо выяснить условия, при которых ряды (222) сходятся в классическом смысле. К. Л. Зигель [91, 185] и Колмогоров [112, 186] выдвинули те плодотворные идеи, которые мы обсуждали в § 4.1. Применительно к гамильтоновым системам это означает:

1. Использование того факта, что все малые знаменатели (т. е. числа для «большинства» по мере Лебега [187] иррациональных частот удовлетворяют некоторым оценкам снизу. В частности, почти все (в смысле меры Лебега) частотные векторы со удовлетворяют оценке

где размерность векторов со и положительная величина, зависящая только от

2. Из неравенства (224) вытекает, что существуют такие векторы частот (0, которые удовлетворяют противоположному ему неравенству

и именно они и порождают те малые знаменатели которые «разрушают» сходимость рядов Поэтому исследовать

задачу о сходимости рядов вида (222) целесообразно лишь для тех частот, которые удовлетворяют оценке (224). Отсюда следует, что область сходимости рядов (222) зависит от меры этого «хорошего» множества. Эта точка зрения получила название «метрическая концепция» в теории гамильтоновых систем [9]. Она состоит в том, что изучаются свойства не всех возможных движений, а основной совокупности, соответствующих «почти всем», а не всем начальным условиям.

3. Сами решения гамильтоновых систем следует строить не в виде рядов но степеням малого параметра (скорость сходимости таких рядов есть скорость сходимости геометрической прогрессии, т. е. член ряда есть величина с помощью итерационных методов типа метода Ньютона [115], основанных на последовательности замеп переменных, обладающей ускоренной сходимостью (иногда приближение имеет порядок

На основе высказанных идей В. И. Арнольдом [86], Ю. Мозером [120, 121] и другими математиками был разработан метод построения точных решений систем (1) с гамильтонианом (219), (221). В его основу положена операция перехода от канонических уравнений (1) с одним гамильтонианом к аналогичным уравнениям с другим гамильтонианом при помощи специально выбираемого канонического преобразования, и такую цепочку преобразований следует осуществлять бесконечное число раз.

Более конкретно рассмотрим так называемый невырожденный случай, когда гессиан

в области

Первый шаг. Выделим сначала усредненную по у часть «малой» функции (т. е. выделим «вековую» часть функции но формуле

и представим первоначальный гамильтониан в виде

где - чисто периодическая по у часть функции Так как в общем случае количество членов в разложении (5.221) бесконечно, представим в виде суммы

где

и

некоторое положительное целое число. О выборе будет сказано ниже, но во всяком случае должно быть достаточно большим, чтобы остаточный член имел второй порядок малости по сравнению с Тогда Н(х, у) запишем виде

где

Введем вместо х, у новые канонические переменные по формулам

- производящая функция канонического преобразования которые преобразовывают первоначальную гамильтонову систему (1) в систему

Новый гамильтониан получается из прежнего после замены х и у их выражениями через т. е.

Еслц положить

это равносильно операции уничтожения (или обнуления) в гамильтониане чисто тригонометрических членов гамильтониана (230), в которых прежние импульсы х заменены новыми Действительно, легко показать, что функция (237) является одним из решений уравнения в частных производных

Такой алгоритм построения канонического преобразования на первом шаге позволяет получить такую гамильтонову систему (235), в которой

причем «малая» часть заведомо удовлетворяет оценке

Величина существенно зависит от выбора нами целого числа т. е. от того, какое количество тригонометрических члепов гамильтониане мы желаем уничтожить на первом шаге. В принципе можно написать, что

Оценки, выполненные В. И. Арнольдом [86], показали, [то число нужно выбрать таким образом, чтобы

После выполнения первого шага мы можем построить первое [риближение к искомому точному условно-периодическому решению системы (1). Для этого следует в преобразованной системе (235) отбросить возмущающую часть гамильтониана и вместо (235) решать гамильтонову систему

Она интегрируется непосредственно:

где начальные значения для системы (2.44), связанные с обратным преобразованием; новые частоты имеют вид

Возвращаясь к формулам (234), дающим каноническое преобразование, и подставляя в них решение (245), (246), найдем первое приближение решения первоначальной гамильтоновой системы (1). Явные формулы для можно найти в [8, 125]. Если мы не ограничиваемся первым приближением, то следует применить к системе (235) каноническое преобразование аналогичное преобразованию т. е. выполнить

Второй шаг. Распишем гамильтониан, как и на первом шаге:

где — «вековая» часть, частная сумма, содержащая гармоники не выше остаточный ряд. Тогда гамильтониан может быть представлен формулами

Введем новые канонические переменные по формулам

Если в качестве производящей функции взять

с коэффициентами

это гарантирует «уничтожение» в преобразованном гамильтониане членов Действительно, производящая функция (251) является решением уравнения в частных производных

На втором шаге каноническая система принимает вид

где гамильтониан дается формулами

Существенной является оценка [117, 185]

причем если то

Если

Отсюда следует, что на шаге «малая функция» будет иметь порядок т. е. таким образом построенная последовательность канонических преобразований

обладает ускоренной сходимостью [115].

Вернемся ко второму приближению. Чтобы его получить, следует пренебречь в дифференциальных уравнениях возмущенной частью гамильтониана т. е. функцией тогда

Интегрирование этих уравпений с прежними начальными условиями дает второе приближение к точному условно-периодическому

решению первоначальной системы

с частотами

Описанный выше процесс преобразований можно продолжать неограниченно. При любом для -го приближения к искомому условно-периодическому решению получаем формулы [8, 125]

где аналитические функции а частоты выражаются через невозмущенную часть гамильтониана -го приближенпя с помощью формулы

Величины связаны с начальными значениями искомых функций о цепочкой формул, приведенных в [8, с. 191, 194]. Из формул (263) видно, что каждое приближение к точному условно-периодическому решению само является условно-периодической функцией и представляется в общем случае бесконечными рядами.

Принципиальным является вопрос о сходимости последовательности канонических преобразований. В классической постановке (применительно к рядам, представляющим решение, а к последовательностям преобразований) этот вопрос рассматривался Пуанкаре [12], который получил отрицательный результат. Другие авторы фактически уточняли результаты Пуанкаре. В «метрической концепции» оказалось возможным доказать сходимость последовательности канонических преобразований. Основные результаты в этом направлении получили В. И. Арнольд [86] для гамильтоновых систем и Ю. Мозер [121] для уравнений .в частных производных эллиптического вида. Не имея возможности излагать в полном объеме теоремы указанных авторов, рассмотрим два существенных момента ввопросе о сходимости канонических преобразований (259).

1. Выбор чисел определяющих частны. суммы и остаточные ряды, на которые разбивается каждый из

гамильтонианов

при применении указанных выше канонических преобразований. Согласно развитой теории [8], если

то все числа следует определять по формуле [8]

где

При таком выборе чисел можно доказать [8], что если достаточно мало и если начальпые условия выбраны благоприятным образом, то приближения сходятся при к точному решению первоначальных уравнений.

2. «Благоприятные значения» принадлежат некоторой подобласти Подобласть строится путем по следовательного исключения из первоначальной области так сказать, «плохих» точек Например, на первом шаге при замене исключаются из области начальные условия которые соответствуют таким точкам (вместе с их достаточно малыми окрестностями), при которых знаменатели в производящей функции меньше некоторой величины, пропорциональной (см. оценку (225)).

На втором шаге, т. е. при осуществлении замены исключаются начальные условия которые соответствуют таким точкам (вместе с их достаточно малыми окрестностями), при которых знаменатели в производящей функции второго приближения также меньше аналогичной величины, пропорциональной

Если подобная процедура повторяется бесконечное число раз, то следует оценить меру множества «хороших» точек, которые могут дать сходящиеся ряды, и меру множества «плохих» точек и их окрестностей, которые препятствуют сходимости рядов.

Оценки В. И. Арнольда [86] показывают, что мера подобласти состоящей из «хороших» точек, отличаются от меры области на величину т. е. почти равпа мере области (полной мере). Отсюда следует, что мера множества «плохих» точек равна

Описанные исходные предпосылки позволили доказать, что последовательность канонических преобразований (и, следовательно, ряды (263), представляющие решение гамильтоновой системы сходится, если начальные условия

Подробные оценки, относящиеся к доказательству сходимости канонических преобразований, можно найти в [8, 86].

В заключение выскажем одну рекомендацию: выбор чисел следует осуществлять не только с учетом формул (266) — (268), но и таким образом, чтобы остаточные члены оставались за пределами выбранной заранее точности вычислений, тогда их можно просто отбрасывать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление