Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.13. Об устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем

Процедура нормализации гамильтонианов и канонических преобразований позволила решить некоторые задачи из теории устойчивости, которые раныре не поддавались решению. Приведем некоторые из них в виде теорем.

Теорема (Арнольд — Мозер [179]). Если в автономной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы отсутствуют резонансы до четвертого порядка включительно и в нормальной форме (195)

то положение равновесия гамильтоновой системы (1) устойчиво по Ляпунову.

Замечание 1. Если в то устойчивость положения равновесия следует непосредственно из классической теоремы Ляпупова об устойчивости [176], в которой в качестве функции Ляпунова берется знакоонределенпый интеграл

Замечание. 2. Если неравенство (200) не выполняется, то для решепия задачи устойчивости решения необходимо привлечь члены более высокого порядка в разложении функции Гамильтона, как это было сделано Маркееиым в [179].

В случае единственно возможного в двумерной гамильтоновой системе резонанса третьего порядка нормальная форма имеет вид

Теорема (А. Н. Маркеев [179]), Если в нормальной форме (201)

то положение равновесия неустойчиво. Если неравенство (204) нарушено и в то имеет место устойчивость положения равновесия

В случае единственно возможного резонанса четвертого порядка нормальная форма имеет вид

Теорема (А. П. Маркеев [179]). Если в нормальной форме (205)

то положение равновесия неустойчиво. Если неравенство (208) выполнено с противоположным знаком, то имеет место устойчивость по Ляпунову. В случае обращения (208) в равенство вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка.

В случае резонанса второго порядка с простыми элементарными делителями определяющей матрицы линеаризованной системы нормальная форма имеет вид (205), причем

а формулы для получаются из соответствующих формул для а заменой с теми же индексами. Введем обозначение Теорема (А. Г. Сокольский [180]). Если в нормальной форме (205), (209) при то положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Если существует такое что то положение равновесия неустойчиво. Если все корни уравнения имеют четную

кратность, то вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка.

При наличии резонанса второго порядка с непростыми элементарными делителями после нелинейной нормализующей замены получаем следующую нормальную форму [180]:

Теорема (А. Г. Сокольский [180, 181]). Если в нормальной форме то положение равновесия двумерной гамицьтоновой системы неустойчиво. Если то имеет место устойчивость по Ляпунову. В случае вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка.

Наконец, при резонансе первого порядка с непростыми элементарными делителями после нелипейной нормализации получим

Теорема (А. Г. Сокольский [182]). Если в нормальной форме и нечетное или при четном выполнено баом то положение равновесия неустойчиво. Если четное число и баом то имеет место устойчивость по Ляпунову.

Все приведенные в этом параграфе формулы можно получить с помощью фортранных программ, которые входят в комплекс

программ нормализации двумерных канонических систем, описанный в [173]. Аналогичный комплекс программ, по для систем с тремя степенями свободы, описан в работе [174].

В работах [179, 183, 184] получены формулы для коэффициентов нормальных форм неавтономных гамильтоновых систем и выведены соответствующие условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия, выраженные через эти коэффициенты. В этих работах показано, что решение проблемы нормализации в окрестпости положения равновесия одновременно позволяет решить проблему существования, построения и исследования устойчивости малых периодических и условно-периодических движений в окрестности этого положепия равновесия. В заключение отметим, что многочисленные приложения этих результатов к задачам небесной механики и космодипамики можно пайти в монографии А. П. Маркеева [179] и в статьях А. Г. Сокольского и А. П. Иванова [182-184].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление