Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.12. Нормализация двумерных гамильтоновых систем (резонансный случай)

Рассмотрим случай равных частот, когда определяющее уравнение (159) имеет корни В зависимости от коэффициентов квадратичной формы возможпы два подслучая:

1) определяющая матрица лииейпой системы (158) имеет непростые элементарные делители, т. е.

2) элементарные делители простые, следовательно, матрицу А можно привести к диагональному виду [3].

В случае пспростых элементарных делителей нормальной формой гамильтопиана в веществсппых переменных называется выражение [180, 181]

где величина определяется в процессе линейной нормализации. Соответствующая нормализующая матрица имеет вид

где - нетривиальные решения уравпений Векторы в матрице (175) получаются из (170), (171), если положить Для определения присоединенного вектора рассмотрим производную приведенной присоедипеппой матрицы (169). Из (168) имеем [178]

Тогда векторы в (175) будут столбцами матриц (176) с тем же номером, что уже выбран для столбцов матриц (170), (171).

После канонического преобразования валентности

нормальная форма (174) окончательно примет вид

В случае простых элементарных делителей нормальная форма задается соотношением (173), а нормализующая матрица определяется формулой (172), где причем в качестве векторов в матрице (172) можно взять любые два линейно независимых столбца комплексной матрицы

(см. [173]). Положим то воспользуемся преобразованием (177)). Заметим, что случай при исследовании устойчивости тривиален, так как из знакоопределенности сразу следует устойчивость равновесного решения и нет нужды нроводить анализ с привлечением нелинейных членов. Окончательно нормальная форма такова:

Рассмотрим случай нулевой частоты когда определяющая матрица имеет непростые элементарные делители Здесь нормальной формой в вещественных переменпых называется выражение [182]

Нормализующая матрица в этом случае имеет вид

где решения уравнений

Векторы определяются из (170), (171), причем Для нулевого, собственного значения получим

Тогда в качестве вектора в (181) можно принять любой ненулевой столбец матрицы (182), а за столбец с тем же номером в матрице (183); см. [181].

Преобразуя (180) с помощью (177), окончательно получаем

Случай одной пулевой частоты с простыми элементарными делителями и случай двух пулевых частот рассмотрены в работах [178, 182].

Приведение выражения второго порядка гамильтониана к нормальной форме (эта форма, как мы видели, различна в зависимости от того, имеет место или отсутствует резонанс частот линеаризованной системы), конечно, не всегда решает вопрос об

устойчивости равновесного решения В этих случаях возникает задача о нелинейной нормализации двумерпой гамильтоновой системы.

Будем теперь считать, что квадратичпая часть гамильтониана (129) нормализована и принимает один из видов (173), (178), (179) или (184).

Далее, согласно § 5.9, надо решить операторное уравнение Ли (130) для каждого порядка где максимальная степень учитываемых членов в разложении (129). Имея в виду прежде всего решение задачи об устойчивости тривиального положения равновесия ограничимся нормализацией до членов четвертого порядка включительно (т. е. будем считать, что в операторном уравнении (130)). По этой же причине приведем лишь формулы для коэффициентов нормальных форм, выписывая явного вида нормализующего преобразования (это легко сделать, используя выписанпые ниже формулы и результаты § 5.9).

Вначале допустим, что все собственные значения матрицы А простые, т. е. В системе с гамильтопианом (129), где уже имеет нормальный вид (173), сразу перейдем к полярным перемеппым по формулам (аналогичным формулам (142))

В полярных переменпых имеем

где

(см. скан)

Остальные функции входящие в формулы (185), (186), получаются из выражений (187) двусторонней заменой Коэффициенты этих тригонометрических многочленов выражаются через коэффициенты функций и (записанных после линейной нормализации) с помощью формул:

(см. скан)

Остальные коэффициенты тригонометрических многочленов из выражения (186) получаются из (193), (194) двусторонней заменой в (аналогично (190), (191) получаются из (189), (188)).

С помощью нелинейной нормализующей замены переменных функции (186) можно значительно упростить. В случае отсутствия резопансов вида (160) до четвертого порядка включительно нормальные формы имеют вид

где

После введения обозначений

для коэффициентов с имеем соотношения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление