Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.11. Нормализация двумерных гамильтоновых систем (нерезонансный случай)

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с его помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено» четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знание самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальпой формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониапа с помощью явпых и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные на них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174].

Рассмотрим автономную гамильтонову систему (1) с двумя степенями свободы функция Гамильтона которой записана в виде ряда (129) с членами вида (95).

Рассмотрим сначала линеаризованную систему уравнений с гамильтонианом

где матрица Гесса, единичная и нулевая матрицы второго порядка.

Пусть определяющее уравнение линейной канонической системы (158)

не имеет корней с ненулевой вещественной частью (выполняется необходимое условие устойчивости положения равновесия) и все его корни имеют вид вещественные числа).

Нормальная форма будет различной в случаях отсутствия или наличия резонансов ( порядок резонанса)

до четвертого порядка включительно.

Первый, предварительный этап нормализации сводится к нахождению такой невырождепной вещественной симплектической матрицы что преобразование

приводит линейпую систему (158) к виду

соответствующему нормальной форме квадратичного гамильтониана Список нормальных форм квадратичных гамильтонианов имеется в [9].

Для нахождения нормализующей матрицы воспользуемся алгоритмом Сокольского [178]. Искомая матрица лилейного нормализующего преобразования (161) должна, во-первых, приводить матрицу А к виду А, т. е.

Во-вторых, она должна быть симплектической и вещественной, т. е. должнь; выполняться равенства

где матрица с элементами, сопряженными элементам матрицы

Решение матричного уравнения (163) существует только тогда, когда матрицы имеют одинаковые жордаповы формы Будем искать матрицу в виде где матрица В составлена из собственных и присоединенных векторов матрицы А и, кроме того, она приводит последнюю к жордановой форме (т. е. а матрица С равна где 7) — матрица, приводящая А к той же жордановой форме, т. е. При составлении матрицы С из собственных и присоединенных векторов матрицы А произвольные постоянные, нормирующие эти векторы, определяются из условий вещественности и симплектичпости матрицы

где кососимметрическая матрица, так как для ее элементов справедливы соотношения .

Для замыкания алгоритма приведем аналитический способ вычисления собственных и присоединенных векторов в случае простых собствепных значений и при наличии резопансов первого второго порядков [3].

В силу симнлектичности матрицы ее характеристический многочлен (левая часть уравнения имеет вид

где - частоты линейной системы (158), причем

Обозначим собственные и присоединенные векторы матрицы А через

(комплексная сопряженность следует из комплексной сопряженности собственных значений). Матрица, присоединенная к определяющей, имеет вид [3]

В случае простых собственных значений определяющее уравнение (159) имеет простые корни Тогда в нашем случае для приведенной присоединенной матрицы [3] имеем

Из (168) получаем

Тогда за вектор можно принять любой ненулевой столбец матрицы (170), а за столбец с тем же номером в матрице (171). Векторы получаются аналогичным образом из формул (170), (171) после замены и сол на Линейное преобразование (161) с матрицей

приводит квадратичную часть гамильтониана к такому нормальному виду (обозначения для переменных оставлены прежними):

где Другой конструктивный алгоритм нормализации предложен А. П. Маркеевым [179].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление