Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.9. Решение операторного уравнения Ли

Применим метод Хори — Депри к задаче нормализации функции Гамильтона возмущенного движения в окрестности положения равновесия канонической системы с автопомным гамильтонианом представленным в окрестности положения равновесия рядом

где однородный полипом степени записанный в виде (95).

Сравнивая разложения (118) и (129), перепишем операторное уравнение (126) в виде

где оператор Ли с генератором Аналогичным образом можно переписать формулы (127), (128), заменив на с помощью соотношения

Перед нормализацией членов в (129) необходимо зафиксировать конкретную форму соответствующую линейной системе канонических дифференциальных уравнений. Поэтому нелинейной нормализации (независимо от того, используется ли метод Хори — Депри или любой другой метод) должен предшествовать предварительный этап липейной нормализации.

Нормальная форма квадратичной части гамильтониапа (129) зависит от кратности собственных значений соответствующей матрицы линеаризованной системы. Изучим сначала наиболее важпый для приложений случай некратных (простых) чисто мнимых собственных значений.

Тогда движение, определяемое липейпой системой с функцией Гамильтона устойчиво [176], частоты этого движения отличны от нуля, а функцию можно привести к виду

Заметим, что такое приведение возможно и в случае равных частот но при этом элементарные делители определяющей матрицы линейной системы должны быть простыми.

Представим формы в виде (95) с коэффициентами соответственно и введем обозначения

где целые неотрицательные числа. Каждую форму (т. е. формы степени относительно коордипат импульсов х представим в виде суммы означает совокупность таких членов из разложения вида для которых суммы показателей степеней координат импульсов одинаковы и равны Совокупность таких членов назовем гармоникой с характеристическим вектором 1.

Подставляя в операторное уравнение (130) формы петрудно убедиться, что получающаяся система линейных алгебраических уравнений относительно (с пока еще неопределенными в правых частях) распадается на подсистемы независимых друг от друга уравнений, соответствующие

тармоникам с характеристическими векторами 1. Поэтому в дальнейшем при решепии операторного уравнения (130) будем рассматривать только члены, принадлежащие гармонике с данным характеристическим вектором 1. Общее число таких членов составит

При решении операторного уравнения для данной гармоники перейдем к комплексным переменным с помощью канонической замены переменных (здесь и далее мнимая единица)

Обратная замена имеет вид

В переменных х, у функция принимает вид

а коэффициенты форм удовлетворяют соотношениям вещественности

где сопряженное комплексное число.

Подставляя (135) в — соответствующие формы, записанные в комплексных переменных), получаем, что операторное уравнение распадается на независимых уравнений

Если в уравнении (137) можно коэффициент новой функции Гамильтона положить равным пулю, а коэффициент производящей функции вычислить по формуле

Это означает, что выбором коэффициента производящей функции по формуле (138) удалось уничтожить соответствующий член в новой функции Гамильтона.

Если то из уравнения (137) коэффициент - определить нельзя. Преобразование становится неодпозначным, а в новой функции Гамильтона соответствующие члены

уничтожить нельзя. В этом случае надо положить коэффициент производящей функции можно взять, например, нулевым.

Рассмотрим случаи, когда величина может обратиться в нуль. Так как все числа а» положительны, то это может произойти только в двух случаях:

1) числа рационально независимы, а для всех

2) существуют такие целые числа что выполняется соотношение

или, по-другому,

В последнем случае говорят, что имеет место резонанс (139).

Как и в § 3.1, число называется порядком резонанса, a - резонансным вектором.

Сравнивая величины с частотами многочастотных систем дифференциальных уравнений, убеждаемся, что он» являются теми же частотами, поэтому здесь возникают трудности, аналогичные тем, с которыми мы встречались при асимптотическом интегрировании мпогочастотных систем (см. гл. III).

Рассмотрим сначала нерезонансный случай. Решая в целых числах систему уравнений получаемой — т. е. все компоненты характеристического вектора гармоники 1 в этом случае могут быть только четными. в частности, следует, что в нерезонансном случае все члены нечетного порядка в повой функции Гамильтона можно уничтожить полностью. Из членов четного порядка в останутся тодько члены вида

коэффициенты которых суть числа или вещественные, или чисто мнимые (см. формулу (136)). Теперь в по формулам, аналогичным (134), можно перейти к Вещественным переменным а затем к полярным переменным используя замепу

Эти две замены можно объединить в одну и сразу от переменных

перейти к полярным переменным по формулам

переменных выражение (141) принимает вид

где вещественный коэффициент вычисляется по формуле четные числа)

Пусть теперь выполнено резонансное соотношение (139). Чтобы выяснить, какие члены нельзя уничтожить в новой функции Гамильтопа, сравним соотношения (137) и (139). Решая относительно системы уравнений получаем

при этом, очевидно, надо, чтобы выполнялось неравенство

Это означает, что если компоненты характеристического вектора удовлетворяют неравенствам (148), то в такой гармонике нельзя уничтожить по два члена с показателями степеней (146) и (147). При этом числа должны иметь одинаковую четность.

Из (148) также видно; что резонанс порядка первый раз проявляется при нормализации членов этого же порядка. Рассмотрим поэтому важный частный случай резонанса (139), когда его порядок совпадает со степенью нормализуемой формы.

Так как то, учитывая (148), получаем, что резонансные члены останутся только в такой гармонике, для которой

Коэффициенты этих двух резонансных членов в с показателями степеней (146) и (147) обозначим через Эти числа являются комплексно-сопряженными, так как удовлетворяют соотношениям вещественности (136).

После перехода к полярным переменным по формулам эти члены нрипимают вид

и вещественные коэффициенты вычисляются по формулам

Аналогичным образом операторное уравнение (130) можно решить и для остальных гармоник данной формы После этого, зная можно вычислить по формулам (127) и тродолжить нормализацию до членов нужного порядка, причем уже нормализованные члены в меняться не будут.

В нерезонансном случае нормальная форма степени (т. е. чормализация проводится до членов степени относительно координат и импульсов) функции Гамильтона возмущенного движения, будет иметь вид (см. (145))

Здесь все числа I, четные, а квадратные скобки означают операцию взятия целой части числа.

Одно из полезных свойств нормальной формы (153) состоит 1 том, что система с укороченной функцией Гамильтона (154) является интегрируемой [162]:

Тогда алгоритм построения приближенного решения исходной гамильтоновой системы (1) состоит из следующих процедур:

1) по заданным в момент начальным значениям помощью формул (116), (142) определяем

2) по формулам (155) находим для любого наперед жданного момента времени

3) по формулам (142), (111) находим в момент времени при этом в формулах прямой и обратной замен (111), (116) надо верхний предел в знаках суммы заменить на соответствующее конечпое паперед выбранное значение.

В укороченной сиотеме с гамильтонианом полярные переменные являются переменными «действие — угол».

В случае резонанса (139) порядка нормальная форма функции Гамильтопа будет иметь вид

Легко проверить, что в случае единственного резонанса укороченная система также является интегрируемой.

Знание нормальных форм позволяет только проводить приближенное интегрирование, но и решать вопросы устойчивости положения равновесия (причем для полной, а не только для укороченной системы), существования, построения и исследования устойчивости периодических и условно-периодических движений в окрестности положения равновесия копкретных механических систем.

В заключение отметим, что коэффициенты в (154) и коэффициент в (157) являются инвариантами фупкции Гамильтона относительно канонических преобразований [172], т. е. не зависят от способа нахождения нормальной формы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление