Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.8. Метод нормализации Хори — Депри

Устранение недостатков классического метода Биркгофа стало возможно благодаря работам Дж. Хори [168] и А. Депри [169], в которых предложен повый способ построения канонического преобразования (96). Они использовали хорошо известную старую идею: множество траекторий гамильтоновой системы преобразовывает фазовое пространство по правилам канонических преобразований. Практическая реализация таких канонических преобразований опирается на использование рядов и преобразований Ли [170, 171]. После работ Хори и Депри появился ряд исследований, посвященных более детальной разработке метода нормализации Хори — Депри и его различпым модификациям. Среди них наиболее значительными являются работы А. П. Маркеева и А. Г. Сокольского [172—174]. Эти авторы не ограничились теоретическими исследованиями, а разработали машинные алгоритмы и комплексы программ нормализации гамильтоповых систем в окрестности положения равновесия Дальнейшее изложение метода Хори — Депри мы будем вести, опираясь в основном на работы А. П. Маркеева и А. Г. Сокольского.

Методы Депри и Хори разработаны в замкнутом рекуррентном виде. Это означает, что, задав на входе алгоритма значения коэффициентов исходной функции Гамильтона и указав порядок, до которого надо проводить нормализацию (или какое-нибудь другое условие, согласно которому надо прекратить нормализацию), на выходе этой процедуры можно получить коэффициенты нормализованной функции Гамильтона. Если необходимо, то можно получить и коэффициенты нормализующего преобразования. При нормализации могут потребоваться некоторые дополнительные сведения, например информация о встречающихся резонансах. Но можно задать всю эту информацию и на самом первом этапе. Рекуррентность методов означает, что ни процедура нормализации гамильтониана до какого-нибудь порядка ни процедура вычисления поправок к формам более высокого порядка не зависят от самой величины

Сначала изложим основы метода Хори.

Пусть заданы аналитические в некоторой области функции канонически сопряжеппых переменных и определены следующие операторы:

где символом обозначены скобки Пуассона. Если является производящей функцией канонического преобразования — старые импульсы и координаты, новые импульсы и координаты, то, как показал Хори [168], каноническое преобразование определяется формулами

где К — малый параметр, от которого зависят гамильтониан производящая функция. Ряды (111) будут сходящимися при достаточно малых значениях Из метода Хори вытекает более общее утверждение: для любой аналитической по функции имеет место разложение

Пусть дана каноническая замена переменных (96), которая переводит систему (1) с гамильтонианом II в систему

с новым гамильтонианом К. Преобразование (96) представим в виде решения вспомогательной канопической системы дифференциальных уравпений с гамильтонианом и временем

Начальные условия при возьмем в виде

Для простоты изложения будем считать, что исходная каноническая система является автономной.

Формально решение уравнений (114) можно представить в виде ряда Тейлора по степеням переменной X, играющей роль параметра. Точнее, для произвольной скалярной функции ряд Тейлора как частный случай ряда (112) есть

Отметим, что в определении переменные можно заменить на любую другую пару канонических переменных, и в дальнейшем они будут указываться как аргументы только тогда, когда необходимо избежать двусмысленного толкования. Более подробно свойства оператора Ли описаны, например, в статье Депри [169]. Преобразование Ли (111) теперь может быть получено, если в (115) в качестве брать последовательно а параметр X положить равным единице, так как решение уравпений (114) является чисто формальным и вопрос о сходимости вообще не рассматривается. Преобразование (111) часто называется преобразованием Ли с генератором Обратное преобразование получается из (111), (115) и имеет вид

Оно генерируется производящей фупкцией

Таким образом, прямое преобразование Ли произвольной функции имеет вид (115):

а обратное преобразование той же функции можно записать в виде

Отметим, что переменная X существенной роли в этой теории не играет и использование ее — только удобный прием вывода соотношений (111).

Применим теперь преобразование Ли в теории возмущений. Представим функцию Гамильтона в виде

Введение параметра так же как и параметра к, можно рассматривать как удобный прием ваписи разложения (118) (например, если ведется разложение по степеням координат и импульсов в окрестности положения равновесия, то в явной форме малый параметр вообще не присутствует).

Новую функцию Гамильтона и производящую функцию преобразования Ли, которые удовлетворяют уравнениям (111), (113), также представим в виде рядов

т. е. будем рассматривать преобразования, близкие к тождественным. Оператор Ли запишем в виде

Тогда, взяв в качестве фупкции в (115) функцию Гамильтона, можно написать

Введем обозначения

Дальше нижний индекс оператора А будем опускать.

Для оператора Ли стенени к равенство (122) тогда можно записать в виде

В рекуррентных соотношениях (123) будем считать Если ввести еще обозначение

то равенства (123), (124) определяют функции полностью. После подстановки (123) в (121) получим

Величины можно трактовать как элементы бесконечной матрицы, в которых к означает помер строки, номер столбца. Тогда представляет собой сумму элементов диагонали, а новый гамильтониан К — двойную бесконечную сумму элементов такой матрицы. При другой трактовке величин (123) процесс вычисления по известным получил название «треугольный рекуррентный алгоритм» [172] и схематически может быть изображен в виде следующей таблицы:

называемой -треугольником. Аналогичные таблицы можно записать и для -треугольников, у-треугольников и т. д.

Уравнение (125) получено Мерсмаиом [175] и применимо не только к функции Гамильтона, по и к любой функции имеющей представление (118). В частности, оно применимо к переменным х, у. Имея в виду в дальнейшем решение задачи о нормализации в окрестности положения равновесия, применим здесь уравнение (125) для нахождения производящей фупкции с одновременным нахождением нового преобразованного гамильтониана. Необходимые при этом вычисления облегчаются, если следовать идее Маркеева [172] и паписать основное

уравнение (125) в виде

где

Назовем уравнение (126) операторным уравнением Ли. Явные выражения через при имеют вид

Решая операторное уравнение (126) последовательно для находим до нужного при решении задачи порядка Затем, подставляя в (125) вместо II величины х, у, находим явный вид нормализующего преобразования

Отметим, что описанную процедуру можно распространить на случай неавтономных гамильтоповых систем [175]. При этом в (126) оператор заменяется на оператор а функции по-прежнему вычисляются но формуле (126). Однако если в автономном случае уравнения (126) сводятся к алгебраическим, то в неавтономном случае необходимо решать системы дифференциальных уравнений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление