Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.7. Метод Биркгофа нормализации гамильтониана

Упрощение (или нормализация) гамильтонианов, конечно, не является самоцелью. Приведение гамильтониана к нормальной форме часто позволяет эффективно решить вопрос об устойчивости или неустойчивости частных решений гамильтоновых систем (положений равновесия, периодических или условно-периодических решений).

Вернемся к канонической системе (1)

где -мерные обобщенные импульсы и координаты, гамильтониан.

Предположим, что в окрестности положения равновесия функция Гамильтона представима в виде ряда

где однородный полином стенени относительно координат и импульсов:

а показатели степеней целые неотрицательные числа; — вещественные коэффициенты, которые в случае неавтономной системы зависят от времени Нормализовать систему (1) означает, как уже нам известно, найти такую близкую к тождественной каноническую систему переменных

чтобы гамильтониан, записанный в новых переменных удовлетворял некоторым, заранее указанным нами требованиям.

Первый завершенный метод нормализации гамильтонианов был изложен Дж. Биркгофом [162], хотя и до него Делоне [22] и С. Ньюкомб [110] фактически пользовались таким математическим аппаратом в теории движения Луны и больших планет.

В методе Биркгофа нормализующее преобразование (96) задается неявно с помощью производящей функции и имеет вид

Представим функцию в виде

(через обозначено скалярное произведение а новую функцию Гамильтона запишем в виде ряда

Установим связь между с помощью известном формулы теории канонических преобразований (см. § 5.2)

Из (97), (98) имеем

Подставляя (102) в (101) и приравнивая члены одинакового порядка относительно переменных, получим

Отсюда видно, что форма второго порядка в разложении функции Гамильтона не изменила своего вида. Подставим (103) в (104) и отметим, что в получившемся уравнении переменные X, у являются, по существу, «фиктивными» и могут быть заменены на любую пару, переменных х, у или Тогда уравнение (104) запишется так:

здесь оператор В имеет вид

С помощью скобок Пуассона действие оператора В на произвольную скалярную функцию можно представить в виде

В (107) первое слагаемое означает скобки Пуассона, а не скалярное произведение, так как функции являются скалярными.

Таким образом, задача нормализации функции Гамильтона сводится к решению операторного уравнения (105) для каждого целого числа В уравнении (105) неизвестными являются функции В каждой конкретпой задаче для его решения надо учесть те или иные требования, предъявляемые к виду нормальной формы гамильтониана. Решив уравнение (105) и использовав в тождестве (101) члены следующего порядка относительно координат и импульсов, можно найти члены получившиеся после нормализации формы порядка. Затем можно решить уравнение (105) для членов порядка найти члены и т. д. Процедуру можно продолжить до членов нужного порядка. Накопец, используя формулы (97), (98), можно найти явный вид преобразования (96).

Вместе с тем отметим, что изложенный классический метод Биркгофа обладает рядом существенных недостатков, особенно проявляющихся при нормализации многомерных гамильтоновых систем до членов высокого порядка с применением ЭВМ:

1) нахождение явного вида преобразования требует фактического выполнения очень громоздких вычислений. В самом деле, для выражения старых переменных х, у через новые

надо сначала обратить уравнение (98), чтобы выразить вектор координат у через новые переменные а потом результат обращения подставить в нравую часть уравнения (97), чтобы явно выразить вектор старых импульсов х через практической точки зрения обращение этих уравнений и нелинейная замена в них являются весьма трудоемкими операциями, которые к тому же при машинной реализации этих алгоритмов требуют много машинного времени и понижают точность получаемых результатов;

2) для получения обратного преобразования нужно выполнить такой же объем вычислений;

3) неявные соотношения метода Биркгофа не дают общего алгоритма преобразования достаточно произвольной функции первоначальных фазовых переменных в функцию новых переменных

4) с практической точки зрения также существенным неудобством является то, что нормализация проводится последовательно для каждого числа и нет общих рекуррентных формул нормализации.

В практических задачах удавалось нормализовать гамильтониан до 3-го, 4-го порядка однако выполнение нормализации по Биркгофу до более высокого порядка «вручную» становится безнадежным делом не только с точки зрения количества арифметических и алгебраических операций, но и с точки зрения эффективного контроля их правильного выполнения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление