Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.6. Применение метода усреднения к уравнению Гамильтона — Якоби

Вернемся к уравнению Гамильтона — Якоби (38)

и предположим, что гамильтониан II имеет вид

Тогда уравнение (38) может быть записано в виде

Нахождение полного интеграла уравнения (91) в общем случае представляется невозможным. В противном случае это означало бы существование таких канонических переменных, в которых происходит «разделение движений», т. е. существует такое

-мерное каноническое фазовое пространство, в котором траектории динамической системы представляются -частотными кривыми на -мерных торах [17]. Поэтому целесообразно поставить вопрос о его приближенном интегрировании. Одним из методов приближенного интегрирования является, как мы знаем, метод усреднения. Он может быть использован для сглаживания самих канонических систем, и в этом случае применимы все алгоритмы и приемы, изложенные в гл. I и III. Но возможно применить процедуру усреднения и непосредственно к гамильтониану II (а не к его частным производным, составляющим правые части канонических систем), т. е. к уравнению в частных производных Гамильтопа — Якоби. Например, если применить к «малой функции» оператор усреднения (80), то мы получаем уравнение

В результате применения оператора усреднения (68) к автономному гамильтониану (56) - получаем уравнение в частных производных

Решение уравнений в частпых производных (92), (93) в конкретных задачах часто представляет собой значительно более простую задачу, чем решение пеусредненных уравпений (38), (91). Однако в общем случае остается неясным вопрос о близости решепий первоначального и усредненного уравнения Гамильтона — Якоби, так как обоснование метода усреднения, примененного непосредственно к уравнениям в частных производных, далеко от завершения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление