Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.3. Наиболее распространенные операторы усреднения

Для каждого первоначального дифференциального уравпения (1) можно построить бесконечное количество уравнений сравнении «иди (2), поэтому естественно возникает вопрос о построении таких уравнений сравнения, которые оптимальным образом учнтмипли бы те свойства решений, которые описаны в § 1.2. Традиционно при построепии уравнений сравнения чаще всего Использовались операторы усреднения (сглаживания) по явно входящему в правую часть уравнения (1) времени или по тем перемонным от которых функция зависит периодическим образом.

Введем для операторов усреднения следующие обозначения:

если функция является -периодической по всем компонентам -мерного вектора в области определения

где символом обозначен вектор Аналогично

если

Иными словами, процедура сглаживания функции по формуле (14) означает ее усреднение но части переменных от которых функция зависит периодическим образом, хотя не исключено, что но переменным она тоже может быть периодической функцией.

В теории нелинейных колебаний, в небесной механике очень, важным является тот случай, когда функция является -периодическон и удовлетворяет условиям одной из теорем о разложимости функции в. -кратныи ряд Фурье (см. конец параграфа). Тогда она в области иредставима -кратным тригонометрическим рядом Фурье вида

Применение оператора усредпеиия (12) к -периодической функции естественно, дает

т. е. результатом усреднения является свободный член ряда Фурье (16).

Допустим теперь, что -мерный вектор представляется в виде

где -мерный числовой вектор имеет компоненты, называемые частотами. Тогда

Применим оператор усреднения по времени полагая, что :

Результат вычисления интеграла (20) существенно зависит от арифметических свойств чисел со". Если частоты рационально несоизмеримы, т. е. равенство

лыполпяется только при то легко можно проверить, что

Таким образом, в случае рациональной несоизмеримости чисел со" операции усреднения по всем переменным и по времени дают одинаковый результат:

Если же числа ом, рационально соизмеримы, т. е. равенство справедливо и при некоторых целочисленных векторах к с отличной от нуля нормой, то в этом случае

где штрих при сумме означает, что индекс-вектор суммирования принимает лишь «резонансные» значения, т. е. такие, для которых Сравнивая выражения (24) и (17), заключаем, что при паличии резонанса частот

следовательно, результаты усреднения по времени и по фазовым переменным одной и той же функции не совпадают. Эти обстоятельства будут играть существенную роль в следующих главах при исследовании так называемых резонансных систем, а здесь отметим, что возможны и другие конструкции для операции сглаживания, в частности объединение процедур усреднения по и по

Замечание. Результат усреднения по с помощью оператора (11) зависит, вообще говоря, от параметра Этот вопрос достаточно подробно изучен Волосовым [20]. В абсолютном большинстве прикладных задач свойства решений уравнений сравнения существенно не зависят от поэтому в дальнейшем всегда будем считать

В заключение приведем формулировку теоремы Дирихле — Жордана [5] для функции скалярного аргумента.

Теорема 1.1. Пусть функция имеет ограниченную вариацию на Тогда ее ряд Фурье в любой точке сходится к значению в частности, этот ряд сходится к в каждой непрерывности

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление