Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.5. Применение метода усреднения к каноническим системам. О нормализации канонических систем

Канонические системы (1) являются частным случаем систем с медленными и быстрыми неременными, поэтому изложенные в гл. I результаты, естественно, применимы и к ним. Если при этом мы хотим, чтобы преобразование было каноническим, необходимо строить замену переменных таким образом, чтобы выполнялось условие Якоби-Пуанкаре (соотноше-ния (6), (8), (9)).

Следует заметить, что при исследовании канонических систем метод усреднения особенно эффективен, когда либо гамильтониан периодичен по угловым переменным у, либо существует интегральное среднее гамильтониана но (если зависит явно от

Здесь повторяется ситуация, рассмотренная в предыдущих главах: процедура усреднения может быть достаточно эффективной в случае исследования колебательных процессов, описываемых периодическими или условно-периодическими функциями. Некоторые вопросы применимости метода усреднения к каноническим системам решены в работах [8, 12, 29, 31, 125, 168]. Здесь мы изложим в некотором смысле более общий алгоритм реализации метода усреднения для уравнений (1).

Пусть каноническая система (1) порождена -периодическим по у гамильтонианом

Если гамильтониан зависит от х, у так, как указано в (56), то канонические переменные х, у называются переменными «действие — угол» [158, 159]. Они играют особую роль в механике и допускают наглядную геометрическую интерпретацию, аналогичную той, которая описана в гл. III.

Вектор размерности

называется вектором основных частот гамильтоповой системы. С помощью такого вектора каноническая система (1) легко записывается в виде системы с медленными и быстрыми переменными (уравнения вида (45), (57) и др.).

В дальнейшем нам понадобится матрица Гесса размерности

определитель которой (гессиан) обозначим через

Невырожденность матрицы Гесса как мы увидим дальше, играет существенную роль в методах асимптотического интегрирования канонических систем.

Пусть каноническая система сравнения для (1) имеет вид

где новый гамильтопиан, зависящий от новых канонических переменных х, у. Предположим также, что

где пока произвольные функции обобщенных импульсов При таком задании частных производных, считая, что

имеем соотношения:

Уравнение (64) определяет равновесные решения первых уравнений канонической системы (59). Интегрирование второй подсистемы (59) в этом случае выполняется непосредственно:

где

Задание частных производных нового гамильтониана в виде (60) фактически означает, что канопическая система сравнения (59) является усредненпой системой любого приближения в смысле Боголюбова для (1), полученной с помощью оператора т. е.

где

Таким образом, ставится следующая задача: пайти невырожденное, дважды непрерывно дифференцируемое каноническое преобразование , которое переводит (1) в интегрируемую систему (59).

Ясно, что в общем случае такая замена не существует, однако ее отыскание в виде расходящихся асимптотических рядов представляется целесообразным и для практики часто конструктивным.

Итак, будем искать замену

преобразующую каноническую систему (1) в систему. (59). Применяя методику, изложенную в гл. I, получим уравнения в частных производных для определения функций преобразования:

Система (70) — (74), как и аналогичные системы, приведенные в гл. III, может быть последовательно проинтегрирована. Действительно, если считать, что гамильтониан аналитичен по х, у, то в силу -периодичности по у функции можно представить -кратпым рядом Фурье

Подставляя (75) в (70), получим уравнение

которое после интегрирования дает

Формула (76) применима, если отсутствуют резонансные соотношения вида В противном случае следует применить в полном объеме алгоритм решения, изложенный в § 1.7.

Отметим лишь тот факт, что здесь сразу возпикает проблема малых знаменателей (см. формулу (76)), которая и приводит к расходимости рядов (69).

В отличие от алгоритма определения произвольных функций изложенного в гл. I и гарантирующего существование периодического по у преобразования Крылова — Боголюбова (69), здесь следует учесть одно из условий каноничности преобразования

Рассмотрим два случая.

1. Из условия существования нового гамильтониана Н(х, у) следует равенство (64). Оно может быть удовлетворено, в частности, если положить

Тогда в уравнениях сохраняются как произвольные функции только и их можпо выбрать таким образом, чтобы в правых частях некоторых уравнений системы (70) — (74) отсутствовали непериодические по у слагаемые. Например, функцию мояшо вычислить по формуле

и это гарантирует «периодический вид» функции преобразования Непосредственное интегрирование уравнений (70) и (71) дает для и периодические представления. К сожалению, этого нельзя сказать о функциях (если считать, что Таким образом, в этом случае преобразование Крылова — Боголюбова не будет, вообще говоря, периодическим, хотя оно относительно просто находится.

2. Пусть условие (64) выполняется при отличных от нуля функциях Тогда по крайней мере некоторые из них могут быть определены по формулам вида (77), дающим «нулевые средние по правых частей уравнений для и т. д., а остальпые должны определяться из равенства (64). Этот прием позволяет уничтожить некоторые непериодические слагаемые в преобразовании Крылова — Боголюбова, но, к сожалению, не все.

Резюмируя сказанное, можем заключить, что существует непериодическое по у преобразование Крылова — Боголюбова (69), которое преобразовывает каноническую систему (1) в каноническую систему (59) с гамильтонианом

Преобразование Крылова — Боголюбова определяется из уравнений (70) — (74), которые интегрируются непосредственно до любого индекса, а функции определяются формулами вида (77), означающими, что средние значения по у правых частей уравнений для равны нулю.

Если гамильтониан системы (1) Н (точнее, ) зависит явно от времени и ставится вопрос о ее преобразовании в автономную систему сравнения (59), но с гамильтонианом частные производные которого выражаются равенствами

где

то в этом случае замену переменных следует искать в виде

Уравнения в частных производных, определяющие функции имеют вид

Таким образом, замена переменных (81) преобразовывает неавтономную каноническую систему (1) в автономную каноническую систему (59) с правыми частями (79), которая, к сожалению, обладает свойством разделения переменных, но более удобна для исследования, в частности для отыскания равновесных (стационарных) решений.

Интегрирование системы (82) — (85) и т. д. представляет собой сложную задачу, и в общем случае оно не может быть выполнено в аналитическом виде. Однако в том случае, когда существуют интегральные средние по времени от правых частей, можно применить для ее интегрирования алгоритм, изложенный в § 3.7.

При нахождении замепы переменных (81) мы не посредственно не проверяли выполнение условий каноничности Якоби — Пуапкаре; они здесь могут быть записаны в виде

или

поэтому определение произвольных функций Ак(х, у), Вк(х, у) как средних но времени значений правых частей уравнений (84), (85) и т. д. (см. алгоритм, изложенный в § 3.7) здесь не может быть реализовано. Если некоторые из этих фупкций определяются как «средние значения», то другие должны определяться из равенств (87), в противном случае нарушается каноничность преобразования (81). Таким образом, каноническое преобразование Крылова — Боголюбова в общем случае не может быть периодическим но у. И наоборот, с помощью периодического преобразования каноническая система (1) преобразуется в неканоническую систему.

Наконец, если вместо усреднения по (формула (80)) ввести усреднение только но времени, т. е. если

то сразу можно заключить, что преобразованная система вида (59) не будет канонической, так как равенство (86) не будет иметь места.

Замечание. Так как ряды (69), (81), представляющие преобразование Крылова — Боголюбова для канонической системы (1), в общем случае являются расходящимися из-за наличия в их структуре малых зпаменателей вида на практике всегда следует ограничиться конечными выражениями

которые удовлетворяют католической системе с погрешностью порядка, вообще говоря,

Задание частных производных гамильтониана в виде (60) означает на самом деле выписывание нового гамильтониана в более простом аналитическом виде, чем первоначальное его выражение. В принятой терминологии можно сказать, что каноническая заменапеременных является нормализующим преобразованием [161], а гамильтониан (67) имеет нормальную форму. Преобразование гамильтонианов к более простой форме называется нормализацией гамильтонианов. Естественно, термин «более простая форма гамильтониана» достаточно неопределенный, поэтому можно говорить о различных методах нормализации гамильтонианов и гамильтоновых систем. Наиболее известный классический метод был предложен Дж. Биркгофом [162], и мы в § 5.7 остановимся на нем более подробно.

Можно считать, что замена перемеппых вида (69) с добавлением к ней условий капопичности является нормализующей для капонической системы с гамильтонианом (56), а нормализованный гамильтониан (67) является наиболее простым, так как преобразованная каноническая система стала интегрируемой. Однако, как подчеркивалось, преобразование (69) является, вообще говоря, расходящимся, и, следовательно, вопрос о существовании таких нормализующих канонических преобразований остается открытым.

В заключение заметим, что во многих задачах процедура нормализации гамильтонианов применяется для того, чтобы их привести к виду (56), т. е. к тому виду, который был исходным, для метода усреднения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление