§ 5.4. Метод вариации постоянных
Наряду с канонической системой (1)
рассмотрим такую «упрощеиную» каноническую систему с гамильтонианом
общее решение которой
известно. Здесь
векторы размерности
с постоянными компонентами
Так как равенства (49) выражают общее решение системы (48), то
и, следовательно, равенства (49) разрешимы относительно произвольных постоянных а, Р:
Из условия, что канонические преобразования образуют группу [163], вытекает, что
как функции
также являются каноническими переменными и, следовательно, выполняются необходимые и достаточные условия каноничности преобразования типа (17), выраженные с помощью скобок Пуассона:
Часто систему (48), как нам уже известно, называют невозмущенной, а систему (1) — возмущенной.
Сущность метода вариации произвольных постоянных состоит в том [158, 163, 167], что общее решение возмущенной системы (1) ищется в том же виде (49) (сохраняется форма функциональной зависимости х и у от
но в предположении, что
уже являются не постоянными векторами, а вектор-функциями времени. Это означает, что и для возмущенной системы сохраняются соотношения (52), так же как сохраняются и соотношения вида (44):
Составляя выражения для полных производных по
функций
и учитывая уравнения (1) и равенства (53), можно вывести уравнения
которые и составляют систему уравнений возмущенного движения [163], эквивалентную (1).
Системе (54) в координатной форме можно придать и следующий вид:
В уравнениях (54), (55) гамильтонианы
и
должны быть выражены с помощью замены вида (49) как функции
Кроме того, заметим, что в (55) скобки Пуассона или постоянны, или выражаются через
[163].