§ 5.4. Метод вариации постоянных

Наряду с канонической системой (1)

рассмотрим такую «упрощеиную» каноническую систему с гамильтонианом

общее решение которой

известно. Здесь векторы размерности с постоянными компонентами Так как равенства (49) выражают общее решение системы (48), то

и, следовательно, равенства (49) разрешимы относительно произвольных постоянных а, Р:

Из условия, что канонические преобразования образуют группу [163], вытекает, что как функции также являются каноническими переменными и, следовательно, выполняются необходимые и достаточные условия каноничности преобразования типа (17), выраженные с помощью скобок Пуассона:

Часто систему (48), как нам уже известно, называют невозмущенной, а систему (1) — возмущенной.

Сущность метода вариации произвольных постоянных состоит в том [158, 163, 167], что общее решение возмущенной системы (1) ищется в том же виде (49) (сохраняется форма функциональной зависимости х и у от но в предположении, что уже являются не постоянными векторами, а вектор-функциями времени. Это означает, что и для возмущенной системы сохраняются соотношения (52), так же как сохраняются и соотношения вида (44):

Составляя выражения для полных производных по функций и учитывая уравнения (1) и равенства (53), можно вывести уравнения

которые и составляют систему уравнений возмущенного движения [163], эквивалентную (1).

Системе (54) в координатной форме можно придать и следующий вид:

В уравнениях (54), (55) гамильтонианы и должны быть выражены с помощью замены вида (49) как функции

Кроме того, заметим, что в (55) скобки Пуассона или постоянны, или выражаются через [163].