Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.3. Теоремы Пуассона. Адиабатические инварианты

Если дифференцируемая скалярная функция сохраняет постоянное значение вдоль траекторий канонической системы (1), т. е. равенство представляет собой ее первый интеграл, тогда справедливо равенство

где скобка Пуассона. Соотношение (44) часто называется теоремой Пуассона [158].

Комбинируя равенство (44) со свойствами скобок Пуассона (11) — (15), мояшо доказать, что если

являются первыми интегралами канонической системы (1), то функция

также является первым интегралом уравнений (1). Это утверждение известно в литературе также иод названием «теоремы Пуассона» [158, 163, 165]. Иными словами, можно написать равенство

выполняемое на траекториях гамильтоповой системы.

Можно было ожидать, что теорема Пуассона позволит находить новые первые иптегралы канонических систем. К сожалению, это не так, хотя она и оказывается полезной в теории возмущений канонических систем.

В теореме Пуассона рассматриваются свойства первых интегралов гамильтоповых систем как функций, остающихся инвариантными (неизменяющимися) вдоль траекторий (решений) системы. Если решение гамильтоновой системы (1) существует при тогда равенство выполняется на бесконечном интервале времени, т. е. вечно. По

этой причине первые интегралы часто называют вечными инвариантами.

Полезным понятием при изучении эволюции решений гамильтоновых систем на конечных, но асимптотических больших интервалах времени (порядка является понятие адиабатического инварианта [166].

Скалярная функция называется адиабатическим инвариантом канонической системы с гамильтонианом если для любого существует такое что Для всех выполняется перавепство

вдоль решения системы

Из этого определения следует, что для первых иптегралов величину можно взять равной нулю. Знание адиабатических инвариантов гамильтоновых систем позволяет иногда значительно продвинуть проблему интегрируемости нелинейных систем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление