Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.2. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби

Уравнение в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции вида

пазывается уравнением Гамильтона — Якоби [4, 7]. Правило составления его весьма просто: обобщенный импульс в функции заменяется частной производной неизвестной функции после чего записывается уравнение (38). Если гамильтониан И не зависит явпо от то в этом случае уравнение Гамильтона — Якоби обычно записывается в виде

где произвольная постоянная, — неизвестная функция. Переход от уравнения (38) к (39) осуществляется заменой

Введение уравнения Гамильтона — Якоби обусловлено тем, что мы хотим найти такое каноническое преобразование (3), чтобы в преобразованной канонической системе (2) гамильтопиан был тождественно равен нулю: Если это имеет место, то

каноническая система (2) интегрируется непосредственно:

где произвольные постоянные. Далее формулы (5) дают непосредственно общее решение первоначальной канонической системы (1).

Полным интегралом уравпепия в частных производных первого порядка называется такое его решение, в котором число неаддитивных произвольных постоянных равно числу обобщенных координат [7].

Из этого определения следует, что полный интеграл удовлетворяет условию

Если в само уравнение в частных производных не входит функция (как это имеет место в уравнении Гамильтона — Якоби), то число существенно различных произвольных постоянных на единицу меньше, т. е. равно Якоби доказал, что нахождение общего интеграла канонической системы (1) эквивалентно нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби (38). Это утверждение известно под названием

Теорема Гамильтона — Якоби [4, 7]. Если задан полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби (38), то общий интеграл канонической системы (1) дается равенствами

Первые уравнений определяют обобщенные коордипаты как функции и произвольных постоянных Подставляя во вторую группу уравнений (41), находим обобщенные импульсы как функции произвольных постоянных Якоби разработал и алгоритм решения обратной задачи [7, 165]: по известному общему решению канонической системы (1) можпо построить полный интеграл уравнения Гамильтопа — Якоби (38). Из теоремы Гамильтопа — Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем (1) и уравнения (38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя.

Дважды непрерывно дифференцируемая функция (аналогично функции из формулы называется производящей функцией канонического преобразования. Она генерирует такое каноническое преобразование ->(х, у), в котором новый гамильтониан представляет собой постояппую величину

(можно ее положить равной нулю)

а само каноническое преобразование выражается равенствами

Производящая функция в которой считаются аргументами, а у — параметрами, должна удовлетворять также условию невырожденности преобразования:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление