Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.1. Канонические уравнения, канонические преобразования. Их свойства

Система уравнений порядка вида

где дифференцируемая в некоторой области функция, называется канонической (гамильтоновой) неавтономной системой [4, 163]. Скалярная функция II называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Если не зависит от то система (1) называется канонической (гамильтоновой) автономной системой. Из определения следует, что компонентами х являются обобщенные импульсы, компонентами у — обобщенные лагранжевы координаты [4, 163].

В механике говорят, что каноническая система уравпений порядка описывает движения в динамической системе с степенями свободы.

Как и в гл. I, можно поставить вопрос о преобразовании системы (1) к некоторой системе сравнения, но в этом случае естественно требовать, чтобы последняя также имела канонический вид. Пусть система сравнения имеет вид

Невырожденное, дважды непрерывно дифференцируемое преобразование называется каноническим, если оно преобразовывает каноническую систему (1) с произвольным, дважды дифференцируемым по х, у гамильтонианом в каноническую систему (2).

Пусть преобразование выражается формулами

Тогда условие невырожденности преобразования (3) в некоторой области состоит в том, что якобиан

в этой же области; якобиан является определителем матрицы Якоби размерности

Отличие от нуля якобиана (4) гарантирует существование преобразования обратного преобразованию (3):

Множество канонических преобразований образует группу [163].

Известны необходимые и достаточные условия каноничности преобразования : полный дифференциал некоторой функции должен равняться выражению

называется производящей функцией канонического преобразования, параметр X — его валентностью.

Здесь, как и всюду, означает скалярное произведение векторов.

В дифференциальном равенстве (6) все функции считаются выраженными через новые переменные х, у.

Связь между гамильтонианами и функцией выражается равенством

Если заменить функцию в дифференциальном равенстве (6), то получим

Канонические преобразования с называются полностью каноническими или унивалентными [163]. В дальнейшем только этот случай и будет нами рассматриваться. Для унивалентных преобразований имеем

Условия (6), (8), (9) принято называть условиями Якоби— Пуанкаре.

Приведем еще одно очень важное определение. Пусть дана пара дважды непрерывно дифференцируемых функций Выражение

называется скобкой Пуассона [158, 163].

Можно доказать следующие свойства скобок Пуассона:

Тождество (15) называется тождеством Пуассона.

С помощью скобок Пуассона можно составить так называемую матрицу Пуассона размерности

Если преобразование (3) является каноническим, то справедливы равенства:

( символ Кронекера [162]).

Равенства (17) также выражают необходимые и достаточные условия каноничности преобразования (3). Скобки Пуассона инвариантны относительно упивалептных канонических преобразований.

Канонические системы имеют много замечательных свойств. Некоторые из них мы здесь приведем.

1. В случае автономных канонических систем уравнения (1) имеют известный первый интеграл

называемый интегралом энергии. Гамильтониан II представляет собой полную эпергию (кинетическая энергия плюс потенциальная энергия динамической системы.

2. В неавтономном случае гамильтониан II выражается с помощью в виде равенства

3. Введем в рассмотрение матрицу А размерности

где и — единичная и нулевая матрицы размерности

Очевидно, что Кроме того, введем -мерные вектор-строки

Тогда гамильтоиову систему (1) можно паписать в виде

(символ означает операцию транспонирования).

Наряду со скобками Пуассона (10) введем скобки Лагранжа

матрицу Лагранжа размерности

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразования (3) можно выразить также через скобки Лагранжа [163, 164], и опо имеет вид условий (17).

Матрицы Пуассона и Лаграижа обладают следующими свойствами:

где матрица, обратная матрице

Матрица представляет собой матрицу Якоби размерности которая удовлетворяет равенству

и называется симплектической. Такие матрицы образуют группу [163].

Симплектичпость матрицы Якоби является также необходимым и достаточным условием каноничпости преобразования (3) (следует учесть обозначения (21)).

4. Производная матрицы Лагранжа по времени удовлетворяет матричному равенству [164]

где невырожденпая матрица размерности а вектор-функция представляет собой правую часть системы

Предполагается, что функции, встречающиеся во всех приведенных соотношениях, дважды непрерывно дифференцируемы.

Из матричного равенства (32) вытекает очень важное свойство гамильтоновых систем, известное в литературе как теорема

Лиувилля [91, 158]. Поясним ее смысл. Пусть задана функция

Легко проверить, что

В силу симметричности матрицы получаем

Отсюда следует

Далее, учитывая соотношение (28), получим

Левая часть равенства (37) часто называется [91, 158] фазовым потоком гамильтоиовой системы. Таким образом, теорема Лиувилля утверждает, что поток гамильтоиовой системы постоянен. Введение симплектической матрицы Якоби, а также матриц Пуассона и Лагранжа позволяет в удобной и компактной форме написать основные свойства канонических систем и преобразований.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление