Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА V. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Канонические (гамильтоповы) системы занимают особое место в математике, механике и физике, и, хотя они могут рассматриваться как частный случай систем с медленными и быстрыми переменными (см. гл. I), они заслуживают того, чтобы используемые для них асимптотические методы изложить отдельно. Это оказывается весьма полезным, так как, с одной стороны, многие хорошо известные задачи нелинейной механики, физики (задача двух, трех и большего числа тел, вращение тела вокруг неподвижной точки, динамика частиц в электромагнитных полях и др.) описываются гамильтоповыми системами, а с другой — для таких систем математиками были разработаны специальпые, достаточно эффективные методы исследования [4, 8, 9, 12, 91, 158].

Гамильтоповы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных коордипат и скоростей (импульсов) [159], которая «порождает» дифференциальные уравнения движения; поэтому мояшо сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождением периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решений и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160].

Широкое распространение в теории канонических систем получил метод нормализации гамильтониана в окрестности равновесного решения (положения равновесия), который, в сущности, является специальным методом замены переменных. Впервые вопросы нормализации гамильтоновых систем были подробно исследованы Биркгофом [161, 162]. К первоначальной канонической системе применяется такая каноническая замена переменных, чтобы в новых обобщенных координатах и импульсах функция Гамильтона имела наиболее простой вид, который и принято называть нормальной формой гамильтониана возмущенного движения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление