Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.10. Алгоритм построения преобразования Крылова — Боголюбова с помощью ЭВМ

Выше неоднократно подчеркивалось, что при построении асимптотических решений дифференциальных уравнений ключевым элементом является само преобразование Крылова — Боголюбова. При построении в явном виде этого преобразования представляется весьма обещающим использование ЭВМ. Мы здесь рассмотрим один частный класс многочастотных дифференциальных уравнений с постоянными вещественными рационально несоизмеримыми частотами. Некоторые алгоритмы для более сложных математических моделей можно найти в [17, 155—157].

Пусть дана система уравнений

где вектор медленных и вектор быстрых переменных, -постоянный вектор с вещественными рационально несоизмеримыми компонентами и вектор-функции соответствующей размерности. Пусть представлены -кратными полиномами Фурье некоторого порядка относительно у:

где целочисленный вектор, кпуп, алгебраические полиномы степени относительно компонент вектора Следует также предположить, что алгебраическое уравнение

обладает вещественным решением т. е. имеется такой постоянный вектор при котором среднее значение функции равно нулю.

Преобразование Крылова — Боголюбова будем искать в виде

где х, у — новые переменные, а функции — результат почленного интегрирования чисто тригонометрических частей полиномов (217), в которых х, у заменены на х, у соответственно, т. е.

Формулы (220) суть частный случай формул (3.55), (3.58). Кроме того, положим

Ввиду предположения о рациональной несоизмеримости компонент вектора все величины отличны от пуля, но, вообще говоря, они могут быть при некоторых к достаточно малыми и представлять собой так называемые малые знаменатели.

При выводе уравнений относительно у (приводим этот вывод с целью детализации структуры этих уравнений) получим сначала соотношения

где единичная матрица. Фупкции удовлетворяют в соответствии с (220) соотношениям

Используя эти соотношения, можем переписать (222) в виде

где в правых частях следует всюду положить Так как то правая часть первого из соотношений (224) лредставится в виде

где постоянная матрица, а функция имеет по норме второй порядок малости относительно и первый относительно

Правая часть второго из соотношепий (224) запишется в виде

где функция имеет по норме первый порядок малости относительно т. е.

В соответствии с выражениями для функции представимы но у рядами Фурье вида (217), коэффициенты которых являются степенными рядами относительно компонент вектора Аппроксимируем полиномами Фурье по у некоторого порядка с коэффициентами — алгебраическими полиномами некоторой степени относительно компонент вектора Такими же полиномами Фурье, но с матричными коэффициентами, представимы матрицы Якоби:

Рассматривая далее (224) как линейные алгебраические уравнения относительно найдем

где представлены полиномами Фурье по у порядка с коэффициентами — алгебраическими полипомами степени относительно компонент вектора При этом, согласно (225) — (228),

Уравнения (230) (точнее говоря, система, состоящая из двух подсистем) представляют собой искомые уравнепия относительно новых переменных у. Существенно, что в первом из уравнений (230) линейные относительно члены, которые присутствуют в функции имеют коэффициенты порядка малости не ниже Поэтому линейная относительно часть в этом уравнении имеет с точностью до членов порядка постоянные коэффициенты, соответствующие матрице Кроме того, в правой части второго из уравнений (230) переменные члены, зависящие от и не зависящие от (присутствующие в функции имеют порядок или выше. Именно получение подобной структуры правых частей уравнений

относительно новых переменных является целью преобразования Крылова — Боголюбова. Если бы мы применили к системе (230) такое преобразование повторно, т. е. ввели бы вместо у по аналогичным формулам переменные то пришли бы к уравнениям относительно у, аналогичного вида, в которых: 1) линейная относительно часть в первом уравпении имеет постоянные коэффициенты с точностью до членов порядка в правой части второго уравнения все члены, зависящие от у, и не зависящие от имеют порядок или выше.

Сложность операций по переходу от системы (216) к системе (230) заключается с вычислительной точки зрения в том, что во всех находимых полиномах Фурье сохраняется аналитическая зависимость от Здесь имеем дело не с полиномами Фурье, коэффициенты которых суть числа, а с полипомами Фурье вида

где коэффициенты выражаются алгебраическими полиномами некоторой степени относительно компонент вектора

Коэффициенты являются известными числами, и именно с ними производятся непосредственно операции на ЭВМ, при этом следует выделять их вещественные и мнимые части.

В целом полная схема алгоритма для преобразования Крылова — Боголюбова при фиксированном численном значении следующая.

Прежде всего запишем исходные уравнения (216), не указывая на зависимость правых частей от так как численпое значение фиксировано. Сохранив прежние обозначения, запишем их в виде

где функции выражены полиномами Фурье вида (217). Формулы, определяющие замену переменных, запишутся в виде

где выражены полиномами (220).

Фиксируем порядок всех строящихся полипомов Фурье и степепь алгебраических полиномов для их коэффициентов, а также допустимую погрешность коэффициентов. Далее:

1. Находим численное решение (вещественное) уравнения (218) и, полагая -определяем наосновании (220) полипомы Фурье вида (232) для функций Обозначим эти полиномы через

2. Выполним подстановку

в полиномах (217) для

и аналогичное выражение для Коэффициенты являются алгебраическими полиномами относительно вектора В результате последовательных арифметических операций над формулами вида (232) мы выразим функции полиномами такой же структуры, но порядка и с коэффициентами — алгебраическими полиномами степени относительно компонент вектора Находим далее (или одновременно) такие же полиномы Фурье для экспонент различных к, используя приближенное выражение

и выбирая о так, чтобы достичь заданной точности всех коэффициентов. После дальнейших операций перемножения и сложения найденных полиномов приходим к полиному Фурье вида (232) для функции (236) и затем для функции (225). Аналогичным образом приходим к полиному Фурье вида (232) для функции и затем для функции (227).

3. Находим полиномы Фурье вида (232) для коэффициентов при в левых частях (234) по программе дифференцирования полиномов.

4. Рассматриваем (224) как систему линейных алгебраических у равпений относительно находим обратную матрицу коэффициентов этой системы и затем приходим к искомым уравнениям (230). При этом все операции, включая нахождение указанной обратной матрицы, сводятся к арифметическим операциям с полиномами вида (232). Запишем окончательно систему (230) в виде

где а функции выражены полиномами Фурье вида (232), т. е.

где -алгебраические полиномы степени относительно компонент вектора

Замечание. Изложенный алгоритм может быть эффективно применен и в том случае, когда компоненты вектора частот системы (216) рационально соизмеримы с целочисленным вектором k. В этом случае следует воспользоваться заменой для исключения одной из быстрых угловых переменных, например переменной с помощью формулы (54) из системы (216). В результате этого вместо системы (216) получаем такую же систему, но в ней число медленных переменных уже будет равпо а число быстрых переменных станет равным После замены на получаем снова систему вида (234) с той лишь разницей, что частоты «перестроенных» рядов Фурье уже не будут рационально соизмеримыми.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление