Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.9. Построение решений миогочастотных систем с помощью дискретного преобразования Фурье

Рассмотрим многочастотную вращательную систему обыкновенных дифференциальных уравнений размерности вида (1.90):

с - нериодическими по у правыми частями и поставим задачу о построении ее приближенных решений с помощью ЭВМ. Один из наиболее эффективных алгоритмов решепия этой задачи был разработан С. В. Мироновым и изложен в работе [148]. Здесь мы будем придерживаться в основном содержания этой работы.

Точное решение системы дифференциальных уравнений (170), согласно теории возмущений, представим в виде

где некоторое приближенное решение системы (170), -полное возмущение этих решений. Приближенное решение предполагается известной функцией времени и оно может быть найдено как точное решение системы дифференциальных уравнений, полученных из (170), например, методом усреднения. Возмущения являются неизвестными функциями времени, и для их отыскания в работе [148] предложен алгоритм, синтезирующий возможности современных вычислительных средств и эффективных методов вычислений с априори заданной точностью.

Основная идея алгоритма состоит в «машинпой» аппроксимации таолицы численных значений возмущения, заданных в точках на исследуемом промежутке времени

Обозначим для краткости компоненты возмущенного решения через компоненты приближенного решения через и возмущения через Учитывая (171), запишем в виде

Функция предполагается известной. Что касается искомой функции то хотя ее аналитическая форма нам

неизвестна, однако можно определить численное значение а для любого момента если численно проинтегрировать дифференциальные уравнения (170). Таким образом, по формуле (172) можно определить численное возмущение для любого фиксированного момента принадлежащего исследуемому отрезку Разобьем отрезок на равпых частей точками Найдем значения возмущепного элемепта а в точках численно интегрируя уравнения (170) с заданной точностью (например, методами тина Рунге — Кутта). тех же моментов времени вычислим значения компонент приближенного решения

Из теории возмущений известно что возмущепия компонент решения в первом приближении содержат вековые и тригонометрические слагаемые. Поэтому можно искать в виде суммы

где линейная составляющая возмущения, имеющая вид

а батр тригонометрическая (или условно-периодическая) составляющая.

Задачу об аппроксимации можно сформулировать следующим образом.

Дана таблица численных значений в равностоящих узлах с шагом Требуется аппроксимировать с заданной точностью на заданном промежутке возмущение в виде суммы (174) так, чтобы величина

была минимальна и в каждой точке выполнялось неравенство

Рассмотрим в отдельности аппроксимации для .

Пусть заданные табличные значения возмущения Линейную составляющую будем искать в виде линейной функции (175) с неизвестными коэффициентами

Пользуясь методом наименьших квадратов [149], составим условные уравнения относительно

Далее составим нормальпую систему и, решив ее, получим следующие выражения для

Соотношения (179) определяют линейную часть возмущения в среднем.

Формулы (174), (175), (179) позволяют найти численные значения условно-периодической составляющей:

Отсюда следует, что нет необходимости учитывать оценки погрешности аппроксимации линейной составляющей, так как они могут быть учтены при аппроксимации

Разложение функции в ряд Фурье на отрезке не позволяет выявить характерные свойств данной функции, так как отрезок выбран нами произвольно и никак не связан со свойствами функции. В частности, если функция батр описывает колебательный процесс с несоизмерными частотами то ее разложение в ряд Фурье на отрезке содержит слагаемые с частотами не совпадающими с частотами Поэтому потребуется сохранить довольно много членов в ряде Фурье для аппроксимации с заданной точностью такой функции. Вследствие этого нецелесообразно искать аппроксимирующий многочлен для функции в виде условно-периодической или, даже более узко, в форме полигармонической функции [150].

Задача об аппроксимации формулируется следующим образом. Условно-периодическая составляющая возмущения компонент решения

определена на отрезке в виде таблицы численных значений

на равномерной сетке

Требуется найти такой тригонометрический многочлен неизвестного порядка К

чтобы

было минимальным и для каждого выполнялось неравенство к

где задаппая точность аппроксимации полного возмущения.

Сформулированная задача сводится к определению неизвестных коэффициентов частот и их количества К. Эта задача получила название задачи о выявлении скрытых периодичностей [151], и опа может иметь бесчисленное множество решений. Одно из ее решений было предложено К. Ланцошем; оно основано на применении к исследуемой функции интегрального преобразования Фурье, которое приводит к разложению данной фупкции на гармонические составляющие. - Введем для функции новую переменную по формуле

Очевидно, точкам соответствуют значения равные

Равенство (188) позволяет обозначать табличные значения исследуемой функции через Тогда первоначальная задача эквивалентна задаче об аппроксимации таблично заданной функции целочисленного аргумента тригонометрическим многочленом пока неизвестного порядка К

таким, чтобы

было минимально и выполнялись условия к

Параметры многочлена (189) связаны с параметрами искомого многочлена (183) соотношениями

Прежде всего определим частоты и их число К. Для этой цели воспользуемся методом К. Ланцоша [151], основанным на преобразовании Фурье таблично заданной функции.

Подчеркнем, что искомые частоты должны удовлетворять условию

так как на большем интервале задания две частоты будут неразличимы. Положим, согласно [151],

Из соотношений (193), (194) следует, что

т. е. шаг таблицы исследуемой функции должен превышать половины минимального из периодов С другой стороны, частоты исследуемой функции должны быть ограничены интервалом

Следуя К. Лапцошу, выделим удвоенные четную и нечетную части функции (188):

или

Тогда в разложении (189) можно отделить синусы от косинусов: к к

Применим к функциям косинус- и синус-преобразование соответственно, которые для таблично заданных

функций имеют следующий вид [148]:

Функции заданы на интервале

Функция обнаруживает существование периодической составляющей тем, что она принимает экстремальное значение в точке

Действительно, если имеет форму то соответствующая функция будет вида

где

При малых х можно считать, что

Функция быстро убывает при возрастании х, и наибольшего максимума она достигает в окрестности (т. е. Отсюда следует, что если частоты входящие в не слишком близки, то функция имеет резко выраженные экстремумы в точках (т. е. при Это, по существу, и определяет эффект выделения гармонических компонент функции Из формулы (202) видно, что высота экстремума функции (201) возрастает равномерпо с но форма графика в окрестности пика не меняется вместе с

Множитель в правой части равенства (200) показывает, что с возрастанием экстремумы функции раздвигаются, и в конечном итоге даже весьма близкие экстремумы могут быть отделены друг от друга. Иначе говоря, с ростом усиливается фокусирующая способность косинус-преобразования. Аналогичным свойством обладает и синус-преобразование (199) функции

Итак, получим следующую численную схейу определения частот

Определим по формулам (198), (199) две числовые последовательности для различных Из этих последовательностей находим экстремальные значения функций и соответствующие им точки которые должны совпадать, т. е.

Выбор шага при разбиении отрезка определяется селективностью преобразования Фурье. Оценки, вытекающие из формулы (202), показывают, что для исключения интерферирующего влияния соседних частот достаточно шаг разбиения отрезка положить равным единице.

Хорошей проверкой по выбору шага является условие (203), означающее, что положение экстремальных значений должно быть одним и тем же.

По полученным числам находим теперь частоты 0, из формулы (200).

После определения частот можно найти неизвестные коэффициенты а», многочлена С этой целью, пользуясь соотношением (189), составим условные уравнения к

и из них в соответствии с методом наименьших квадратов [149] получим систему нормальных уравнений

относительно неизвестных

Поскольку аргумент задан в виде равноудаленных и симметричных относительно нуля значений (187), то можно показать, что система (205) распадается на две подсистемы

где

Системы уравнений (206), (207) можно решать известными методами линейной алгебры [3], однако при большом числе уравнений целесообразно решать их итерационными методами, в частности методом Зейделя [152, 153], сходимость которого

доказана в [154]. Для ускорения сходимости итерации разумно принять за нулевые приближения величины

где — экстремальные значения функций (198), (199).

На этом заканчивается построение тригонометрического многочлена однако условие но точности (191) может быть не выполнено, поскольку все частоты могут быть выделены. Это связано с ограниченной селективностью преобразования Фурье для дискретно заданных функций.

Если условие по точности (191) не выполнено, то поступаем следующим образом. Вычислим разности

Функция содержит лишь те частоты, которые не вошли при первой аппроксимации. Применяя к преобразование Фурье, получим многочлен

так что аппроксимируется многочленом к

Если снова не выполняется условие по точности (191), то находим разности которые аппроксимируем многочленами вида (211). Такой итерационный процесс выделения частот будет конечным, так как на каждом шаге итераций число подлежащих выделению частот 0, уменьшается и фокусирующая способность преобразования Фурье возрастает.

Подставляя найденпые величины в формулы (192), получим искомые частоты и коэффициенты аппроксимирующего многочлена (183).

В частном случае, когда все частоты соизмеримы (т. е. где целые числа), коэффициенты С], искомого тригонометрического многочлена вычисляют, не решая системы (206), (207), а используя формулы

Пуассона

В конечном итоге для исходного условно-периодического возмущения получим аппроксимирующий многочлен

где - параметры, полученные итерации преобразования Фурье.

Выражение (214) можно записать в компактпой форме:

где

Таким образом, задача о численно-аналитической аппроксимации возмущения решена. Отметим основные достоинства рассмотренного метода аппроксимации полного возмущения компонент решения:

— вековые и условно-периодические возмущения определяются отдельно друг от друга;

— не используются сложные аналитические соотношения;

— условно-периодическое возмущение определяется в чист» тригонометрической форме;

— сам алгоритм построения полного возмущения, описанный здесь, является простым и гибким при вычислениях на современных ЭВМ.

Изложенная методика построения возмущений была применена к конкретным задачам небесной механики, в частпости для определения возмущений элементов орбит астероидов Юнона, Веста, Астрея, Геба, Ирида и Лютеция. В качестве приближенного решения дифференциальных уравнений, описывающих движение этих астероидов, было взято точное решение усредненного но схеме Фату варианта ограниченной круговой задачи трех тел [8, 124].

Анализ численных результатов показал, что на промежутке времени 500 лет вековые возмущения большой полуоси , эксцентриситета и наклона практически отсутствуют, в то время как угловые элементы и претерпели значительные изменения из-за паличия вековых возмущений. Они имеют

порядок:

Что касается условно-периодических (тригонометрических) возмущений, их максимальные амплитуды составляют: для большой полуоси 0,000520 а. для эксцентриситета 0,001500, для угловых элементов и соответственно Минимальное значение частот колебаний условно-периодических возмущений равно а максимальное

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление